Eğer entropi kavramını aksiyomize etmek istersen .....

İyi bir entropi nosyonunun yerine getirmesi gereken aksiyomlar nelerdir? Lütfen değil , topolojik entropi veya ölçü teorik entropi veya benzeri gibi entropi türlerinin tanımlarını istediğimi unutmayın. $ X $ 'boşluk' ise, geniş anlamda (topolojik, ölçü, cebirsel, vb.) ve $ \ varphi: X \ rightarrow X $ öz harita, ve iyi bir tanım yapmak istiyorsak $ \ varphi $ 'ın karmaşıklığını ölçmek için entropi kavramı, bu kavramın hangi aksiyomları sağlaması gerekir?

EDIT: Belki de daha makul bir soru: Bir işlevi yineleyerek verilen bir sistem için, entropi ölçüsü iyi bir nosyona sahip olmalıdır (mekan tipine hiç veya minimum referans olmadan)?

24
Buradaki `karakterizasyonu 'bölümüne göz atın, Mehdi: en.wikipedia.org/wiki/Entropy_ ( information_theory)
katma yazar vettipayyan, kaynak
@ Mehdi: Anladım. Bu soruyu geçerken gördüğüm gibi, sadece Suvrit'in yorumunu biraz değiştiriyordum. Bu, sorunuza cevap vermek için tasarlanmadı, sadece olası bir başlangıç ​​noktası önermek için ...
katma yazar vettipayyan, kaynak
@ Mehdi: BTW, bu soruyu beğendim.
katma yazar vettipayyan, kaynak
cehaletimden dolayı özür dilerim ama bu kadar uzun zamandır bilgi teorisinde sayılmayan sorular var mı?
katma yazar Lord Loh., kaynak
"Kolmogorov karmaşıklığı" nasıl? belki arkasındaki fikirler, aradığınız aksiyomlaştırma için gerekli temeli sağlar?
katma yazar Lord Loh., kaynak
@Survit: Bilmiyorum. Herhangi bir referansı biliyorsanız, lütfen gönderin.
katma yazar Mahdi Majidi-Zolbanin, kaynak
@Jon: Görünüşe göre bu aksiyomlar bir olasılık alanı bağlamında anlam kazanıyor ve "rastgele bir değişkenle ilişkili belirsizliği" ölçüyorlar ve eğer $ X $ sadece bir topolojik uzay ise mantıklı olmaz. Bununla birlikte, entropi topolojik bir dinamik sistemde tanımlanabilir (bkz. en.wikipedia.org/wiki/Topological_entropy). Entropi nosyonunu, söz konusu mekanın cinsine minimum referansla nitelendirmenin mümkün olup olmadığını merak ediyordum.
katma yazar Mahdi Majidi-Zolbanin, kaynak

7 cevap

Bu tam bir aksiyomlaştırma değil, kısmen belirsiz olduğu için ve kısmen sadece iki bağlamda entropi kavramına aşina olduğum için: topolojik uzay ve ölçü alanı. Bununla birlikte, her iki durumda da prosedürde bir ortak nokta vardır.

  1. $ X $ boşluk ve $ f \ colon X \ - X $ haritasından başla.
  2. Alanınızı belirli bir ölçeğe kadar kaba işleyin, böylece birbirine çok yakın olan yörünge segmentleri ayırt edilemez.
  3. $ n $ uzunluğundaki kaç tane birbirinden ayırt edilebilir yörünge segmentinin "anlamlı" olduğunu gösterir; bu numarayı $ a_n $ olarak adlandırın.
  4. Büyüme oranını bulun $ \ lim_ {n \ - \ infty} \ frac 1n \ log a_n $; bu, seçtiğiniz belirli kaba ölçekte entropidir.
  5. Kaba ölçeğin daha ince ve daha ince olmasına ve entropiyi elde etmek için bir sınır almasına izin verin.

Bu işlemi nasıl kesin bir şekilde yaptığınıza bağlı olarak çeşitli fikirlere sahip olursunuz. Örneğin, eğer $ X $ bir topolojik uzay ise, "belirli ölçek" "açık bir kapak ile kod" anlamına gelir ve "önemli" "X" anlamına gelir, o zaman topolojik entropi elde edersiniz. Öte yandan, eğer $ X $ bir ölçü alanı ise, "belirli ölçek", "bölüm tarafından kod" anlamına gelir ve "önemli", "eşit derecede pozitif ölçü kümesini kapsar" anlamına gelir, sonra ölçü teorisi entropisi elde edersiniz.

Benzer tanımları olan diğer uzaylar için entropi kavramlarının olup olmadığını bilmek isterim. Veya bu konuda olmayan benzer tanımları olan başka kavramlar varsa.

19
katma
Neredeyse bu soru hakkında size e-posta gönderdim, ancak sonra kendi başınıza bulacağınıza güvenmeye karar verdim. :)
katma yazar jt., kaynak
@Vaughn: Gruplar veya projektif çeşitler gibi cebirsel yapıların endomorfizmaları için tanımlanmış çeşitli cebirsel entropi kavramları da vardır. Bu kavramların bazıları yukarıdaki aksiyomlara göre tanımlanmış görünmüyor. Projektif çeşitlerin rasyonel kendi haritaları için, örneğin, entropi derecesi kullanılarak tanımlanır (bkz. springerlink.com/content/nak975w6tk8lfjnl ) ve bu derece $ a_n $ dizisinin rolünü oynuyor gibi görünüyor.
katma yazar Mahdi Majidi-Zolbanin, kaynak

In addition to the wikipedia page, you can take a look at this fairly recent paper "A Characterization of Entropy in Terms of Information Loss" by John C. Baez, Tobias Fritz, Tom Leinster http://arxiv.org/abs/1106.1791

9
katma
@Anthony: Bu ilginç, ancak yine de yalnızca olasılık alanı bağlamında mantıklı geliyor. Lütfen yorumumu Jon'a bakın.
katma yazar Mahdi Majidi-Zolbanin, kaynak

$ (X, \ varphi) $ 'ın topolojik ve ölçü teorik entropileri, kısmi gözlemlerin ortalama entropisini formalize eder ($, Vaughn'un bahsettiği kaba tanecik eşdeğerdir). (Dinamik sistemler için diğer entropi kavramlarına aşina değilim.) Her iki durumda da, ilk önce $ \ varphi $ değerinden bağımsız izin verilen gözlemler sınıfı için temel bir entropi kavramı gerekir.

Chris Hillman'ın (ne yazık ki) yayınlanmamış notları gibi birçok başka örneği içeren entropinin zarif bir aksiyomlaştırmasını verdiği Hausdorff boyutu veya Galois entropisi dediği şey.

4
katma
Giriş bölümünde açıklanan Bölüm II, gerçekten ilginç olacak gibi görünüyor! Herhangi bir yerde bulunup bulunmadığını biliyor musunuz?
katma yazar Pacerier, kaynak

This paper of Gromov seems to aim to answer exactly your question: to provide a category theoretic axiomatization of entropy that is as general as possible. He defines entropy as a functor from the category of things you actually observe, to the category of sets. His formalism probably applies to your case if you define your 'state detectors' P (on page 2) in an appropriate manner...

4
katma
@Mahdi: Kağıdın zaman zaman güncellendiğini unutmayın, bu nedenle ihes.fr/~gromov/topics/recent.html en yeni sürümü bulmak için (şu an itibariyle 10 temmuz) ... ayrıca, en sonunda itnasyonlar Esnault-Viehweg ("Böyle" sıralaması sonucu Eşitsizlikler ”, örneğin Khovanski-Teissier teoreminde ve Esnault-Viehweg'in keskinleştirilmiş Dyson-Roth lemmasının kanıtı gibi pozitif vektör demetlerinin bölüm alanları ve (genel olarak kohomolojiler) arasındaki eşitsizlikleri hatırlatıyor. ilgileriinize yakın görünen ").
katma yazar David Holm, kaynak
Sevgili o a: Bu makaleyi paylaştığınız için teşekkür ederiz. Bu kağıdı görmemiştim, bakacağım.
katma yazar Mahdi Majidi-Zolbanin, kaynak

Daha fiziksel bir bakış açısıyla, Lieb ve Yngvason'un eserleri var:

http://arxiv.org/abs/math-ph/0204007

4
katma

Sadece (Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno ve ben) entropi kavramlarını yeniden tanımlayacağımız bir çerçeveden bahsetmek istiyorum.

Prof fikri. Dikranjan, normlu yarı gruplar kategorisini tanımlardı. Aslında, normlu bir yarı grup, normlu bir $ S $ grubudur. $$ v: S \ 'den \ mathbb R _ {\ geq 0} $$ öyle ki $ v (xy) \ leq v (x) + v (y) $ olur. Kategorideki morfizmalar, görüntünün normunun orjinal noktanın normundan $ \ leq $ olacağı şekilde sadece yarı grup homomorfizmalarıdır.

Bu kategoride bir endomorfizmin entropisi kavramı $ \ phi: (S, v) \ - (S, v) $ olarak tanımlanabilir. Aslında bir kişi alır $$ sa (\ phi) = \ sup \ left (\ lim_ {n \ - \ infty} \ frac {v (x \ phi (x) \ dots \ phi ^ {n-1} (x))} {n }: x \ in S \ sağ). $$ Zaten bu seviyede, yukarıdaki entropi fonksiyonunun bazı iyi özellikleri sağladığını fark etmek ilginçtir. Ayrıca, endomorfizmler veya otomorfizmler için olağan entropi (topolojik, cebirsel, mesure-teorik entropi,…) kavramlarının, kategorileri için tanımlandıkları kategorideki uygun bir fonksiyon gösterici kullanılarak tanımlanabileceği ortaya çıkmıştır. normlu yarı gruplar (yarı grup kesişimli alt küme kümesi (veya gruplar halinde toplamı), kesişimli açık örtü kümesi, ... norm, kardinalliğin $ \ log $, ölçü birimi, alt kağıdın minimum kardinalliği olabilir. ...).

Entropi fonksiyonlarının aksiyom listelerini arıyorsanız aşağıdaki makalelere bakmanız gerektiğine dikkatinizi çekeyim:

L. N. Stojanov, Kompakt gruplarda endomorfizma için topolojik entropinin benzersizliği, Boll. Un. Mat. Ital. B7 (1987) no. 3, 829–847. (kompakt gruplarda topolojik entropinin aksiyomatik karakteri)

D. Dikranjan ve A. Giordano Bruno, Abelian Grupları Üzerine Entropi, Ön Baskı; arXiv: 1007,0533. (ayrık gruplar üzerinde cebirsel entropinin aksiyomatik karakteri)

L. Salce, P. Vamos, S. Virili, Uzunluk fonksiyonları, çokluklar ve cebirsel entropi, Forum Matematiği. (2011) (modüller üzerinde cebirsel entropi kavramı aksiyomatik karakteri)

Yukarıdaki özellikler aşağıdaki ankette tartışılmıştır,

D. Dikranjan, M. Sanchis, S. Virili, Düzgün uzaylarda ve topolojik gruplarda entropi hakkında yeni ve eski gerçekler, Topoloji uygulaması. (2012) 1916-1942

3
katma

Kontrol edebildiğim kadarıyla, ilk soruya henüz doğrudan bir cevap verilmedi.

2003’ün başlarında olduğu gibi kompakt bir aralığın sürekli haritaları için sorunun tamamen çözüldüğünü söyleyeyim: Alsedá, Kolyada, Llibre ve Snoha, tamamen topolojik entropiyi karakterize eden iki farklı aksiyom seti sundu (< a href = "https://www.researchgate.net/publication/235719788_Axiomatic_definition_of_the_topological_entropy_on_the_interval" rel = "nofollow"> Aiolojik Matematik, ". -132 ).

Aksiyomlar, önemli düşük noktalı yakınlık özelliğini ve daha sonra, daha yüksek boyutlu haritalar için göz önünde bulundurulması zor olan spesifik özelliklerden üzülerek bahseden 5 veya 6 ek aksiyomu içerir. Fakat kesinlikle daha yüksek boyutlu düşünceler için olası bir başlangıç ​​noktasıdır.

1
katma