P-Sylow alt grupları teoremi için uygulamalar

Böyle bir soru aradım ve bulamadım. Geçenlerde $ p $ -Slow alt gruplarını tanıttığım ve Sylow'un teoremlerini kanıtladığım bir sunum yaptım. Yakında Sylow teoreminin uygulamalarıyla ilgili bir tanesine daha sahip olacağım.

Sorum şu:

Muhteşem uygulamalar var mı   Sylow teoreminin grup teorisi ve   matematiğin diğer alanları   Elbette gruplarla ilgili)?

21
Bence "muhteşem" sayılan şeyleri açıklığa kavuşturarak sorunun geliştirilebileceğini düşünüyorum - bu tür bir yargılama birçok matematiğin yıllar içinde fikrini değiştirdiği bir şeydir.
katma yazar Matt Miller, kaynak
Pete'in notuna ek olarak: bazı şeylerden kaçınmak mümkündür, ancak sağlıklı olmayabilir.
katma yazar Matt Miller, kaynak
Ayrıca, Darij'un ilk yorumlarından birine cevaben: oldukça açık bir şekilde sorusu “Sylow teoreminin grup teorisi ve diğer matematik alanlarındaki (elbette gruplarla ilgili) uygulamalarını” soruyor. Bir şeyi senin sorusuyla "grup teorisyeni olmasam neden Sylow teoremlerini önemsemeliyim" sorusu olarak yorumlamanın zor olduğunu düşünüyorum.
katma yazar Matt Miller, kaynak
“Grup teorisi güzel olsa da, diğer tüm matematik alanlarındaki çoğundan büyük ölçüde kaçınılabilir…” 22 yaşındakilerin hiçbirinin diğer tüm alanların sadık bir izlenimine sahip olamayacağının muhtemel olduğunu itiraf ediyorum Matematik Aksine, bunun gibi düşünceler beni bir kişiliğin parokalizminin reklamları olarak vurur. Grup teorisinin matematikteki yaygınlığı, (örneğin) kategori teorisinin yaygınlığı ve bir kategorideki bir nesnenin otomorfizmlerinin bir grup oluşturması gerçeği ile güvence altına alınmıştır. Başka sebepler de var! Sonlu gruplara hiç ilgi göstermeyen garip bir matematikçi.
katma yazar kevtrout, kaynak
Şey ... Harmonik polinomlar ve diğer özel polinomlar - güzel analizler - kısa bir süre boyunca konuşmacıyla konuşarak, ortogonal grupla ilgili bir şey sordum. Geçen 4 saat boyunca $ L ($) ($) (L ^ 2 (S ^ {n-1}) $, onun polinomlarının özel olduğu yerde, çünkü bazı alt grupları ve benzerlerini çaprazladılar! Gruplar kullanılarak ifade edilebilecek ve başka şekillerde düşünebilecek şeyler çok iyi olabilir.
katma yazar Herms, kaynak
Basit grup teorisi ile ilgili olarak herhangi bir kitaba bakın. Mathoverflow için bu doğru bir soru değil. Böyle bir soru, örneğin math.stackexchange.com adresinde daha uygun olacaktır.
katma yazar John Duff, kaynak
Materyalleri soyut cebir derslerinden kullanmak için hiçbir nedeni olmadığını söyleyen, saygın bir olasılıkçı tanıyorum, bu yüzden sonlu gruplar hakkında bilgi sahibi olması gerekmeyen başarılı bir matematikçinin bir örneği. Diğer birçok matematik alanındaki grup teorisinden kaçınabileceğini söylemenin doğru olduğunu sanmıyorum, ancak bu, diğer matematik alanlarındaki grup teorisinin çoğundan kaçınabileceği anlamına gelmiyor. Eğer grup teorisi üzerine büyük bir kitap çıkarırsanız ("grup teorisinin çoğu için bir model olarak"), diğer alanlarda gerçekten gerekli mi? Hmm ...
katma yazar acannon828, kaynak
Sylow teoremi gerektirmeyen sonlu grupların yapısı hakkında önemsiz bir sonuç bilmiyorum. Sonlu grupların önemli olduğunu düşünüyorsanız, o zaman Sylow teoremi de öyle.
katma yazar Jesper Kihlberg, kaynak
... başlamak için. Bir istisna biliyorum: cebirin temel teoremi. Daha fazla bilmek isterim. Ve Sylow'un (Frobenius tamamlayıcısı, Frattini argümanı, Feit-Thompson) daha ileri teoremlere gelince, hiçbir istisna bilmiyorum.
katma yazar James Fee, kaynak
@ Mariano: Bu Lie gruplarının temsil teorisidir. Temsil teorisinden ziyade grup teorisini kastettiğimi ve Lie'den ziyade sınırlı demek istediğimi söylemeliydim.
katma yazar James Fee, kaynak
@Yemon: soru "muhteşem" diyor. Sylow teoremi grup teorisini yaparken çok fazla önerdiği için normal olarak grup teorisinin kendisini muhteşem bir uygulama olarak düşünmezdim (sonuçta, eğer biri bir nesneyi anlamadığında, birinin "azaltmaya çalıştığı" standart bir numaradır) asal etmek için "".
katma yazar James Fee, kaynak
Tamam, insanların formülasyonum "grup teorisi" üzerine kafa yormasını beklemiyordum. Demek istediğim FINITE grup teorisi. FINITE grup teorisindeki ileri teoremlerin, ileri Sylow ile başladığı (Cauchy hala tamam, ispat kısa) başka yerlerde hemen hemen önlenebileceğini düşünüyorum. Her zaman olduğu gibi, böyle bir iddia tam tersini kanıtlamak için bir davettir. Dinamikteki sonlu yörüngelere ilişkin bazı sonuçların sonlu gruplar için kullanımı ve bazı temsil teorisi (açıkçası) olması beni şaşırtmaz, ancak Sylow'un sonlu gruplar hakkında olmayan bir teoremi ispatlamasında yardımcı olmasını beklemem. ..
katma yazar James Fee, kaynak
Dediğim gibi "... bir grup teorisyeni değilsem". Grup teorisi güzel olsa da, diğer tüm matematik alanlarından çoğundan pek kaçınılabilir, bu yüzden soru hala geçerli.
katma yazar James Fee, kaynak
Ayrıca, Johannes, katılmıyorum. Pek çok kitap Sylow teoreminin "muhteşem" uygulamalarını vermiyor, ancak Sylow'dan daha ilginç görünmeyen teoremlere sadece bazı uygulamalar veriyor. "Grup kuramcısı değilsem neden Sylow'un teoremlerini önemsemeliyim" sorusu, bir süre önce sormayı düşündüğüm bir konudur. Bunu kapatmak için kesinlikle oy kullanmıyorum.
katma yazar James Fee, kaynak
Cebir temel teoremini kanıtlamak için neredeyse hiçbir analiz gerekmeksizin bilinen bir uygulama olduğunu düşünüyorum.
katma yazar James Fee, kaynak

8 cevap

Eğer Sylow alt gruplarını ve Sylow teoremlerini tanıtıyorsanız, izleyicileriniz muhtemelen geniş bir matematiksel arka plana sahip değildir (aksi halde, Sylow teoremlerini çalışmalarında bir noktada, en azından Kuzey Amerika ve Batı Avrupa'da göreceklerini sanırım). Sylow teoremlerini bir lisans soyut cebir sınıfında öğrettiğimde, döngüsel grupların iki temel özelliğinin konuşmalarını göstermek için bunları uyguladım:

(1) Bir sonlu grup, her boyutta en fazla bir alt gruba sahipse, grup döngüseldir. [Düzenle: Sylow teoremlerini atlayan aşağıdaki yorumlarda bunun bir kanıtı var.]

(2) Sonlu bir grup her bir $ n $ tamsayısı için $ x ^ n = 1 $ denkleminin grupta en fazla $ n $ özümüne sahip olduğunu varsayar, o zaman grup döngüseldir.

Her iki ispatta da, $ p $ -Slow alt gruplarının varlığını, sonlu $ p $-gruplarının durumuna indirgemek için kullanırsınız ve bu durum daha sonra diğer tekniklerle çözülür (Sylow teoremlerini kullanmadan). Yukarıdakilerin kanıtları, Sylow teoremlerinin diğer uygulamaları ile birlikte http adresindeki notlarımda bulunabilir. : //www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/sylowmore.pdf . Tabii ki bunlar "muhteşem" uygulamalar değil, ama sonlu döngüsel grupların bu özelliklerinden herhangi birini tüm sonlu gruplar arasındaki döngüsel grupları gerçekten nitelemek için Sylow alt gruplarının varlığını kullanmanızın sevimli olduğunu düşünüyorum.

Daha ileri bir yönde, Sylow alt grupları genel sonlu grupların kohomolojisi hakkındaki teoremleri kanıtlamak için kullanılır. Serre'nin Yerel Alanlarının IX. Bölümüne bakınız (örneğin, Teorem 12 ve 13). Bu uygulama belki izleyicileriniz için çok fazla.

Sonlu gruplar hakkında Schur-Zassenhaus teoremi (bkz. http://en.wikipedia.org/wiki/Schur% İfadesi için% E2% 80% 93Zassenhaus_theorem ) Sylow teoremlerini (ve sadece teoremlerin mevcudiyeti kısmını değil) diğer tekniklerle birlikte kullanarak kanıtlamıştır. İspatın daha basit yönlerini http://www.math.uconn.edu. /~kconrad/blurbs/grouptheory/schurzass.pdf .

Sonlu grup eylemleriyle ilgili temel bir sonuç Frattini argümanıdır: $ G $ sonlu bir grup $ X $ ve sonlu bir grup $ X $ ve $ H $ $ G $ alt grubu geçici olarak etkinse $ X $ üzerinde etki eder ve her $ x $ için $ X $ bizde $ G = HS_x = S_xH $ var, burada $ S_x $ $ G $ içinde $ x $ dengeleyicidir. Buna bir örnek olarak, $ p $ bir asal ve $ G $ sonlu bir grup düzeltin. $ K $ 'ın $ G $' nın bir normal alt grubu olmasına izin verin ve $ X $ için tüm $ p $ -Slow alt gruplarının kümesini kullanın, $ K $ ($ G $! Değil) $ G $ 'ın $ K $' nın normal olduğu için $ K $ 'in konjugasyon ile hareket ettiği bir set. $ K $ 'ın $ X $ üzerinden geçişli davranması, Sylow teoremlerinin eşlenik bir parçası için özel bir durumdur ($ K $ grubu için). Sonra Frattini'nin argümanı bize $ p $ -Slow düşük $ P $ $ K $ alt grubumuz için $ G = KN_G (P) $ 'ımız olduğunu, $ N_G (P) $' ın $ P $ 'ın normalizer alt grubu olduğunu söyler. G $, çünkü $ N_G (P) $, $ X $ üzerindeki $ G $ birleşme işleminde "$" puanının sabitleyicisidir. Frattini argümanının bu özel durumu (sanırım Frattini'nin orijinal haliydi) sonlu nilpotent gruplarının birkaç farklı karakterizasyonunun denkliğini göstermek için kullanılabilir. Öğrencileri Sylow teoremlerine yeni ikna etmek, Frattini argümanının bu özel örneğinin "muhteşem" bir şey olduğuna ikna etmek zor olabilir, ancak sonlu gruplar hakkındaki herhangi bir metinde bulmanız gerekir.

Son olarak, Sylow teoremlerinin bazı temel özelliklerini daha geniş bir bağlamda yerleştirmenin iyi olacağını düşünüyorum. Aklımda olanlar var: Varlık (herhangi bir $ p $ için bir $ p $ -Slow alt grubu var), uzantı (herhangi bir $ p $ -subgroup bir $ p $ -Slow alt grubunda yer alıyor) ve eşlenik (herhangi bir iki $ p $ -Slow alt grupları birleşiktir). $ P $ -Slow alt gruplarının sabit bir prime $ p $ için bu yönleri, bağlı kompakt Lie gruplarındaki veya bağlı doğrusal cebirsel gruplardaki maksimum tori gibi diğer grup sınıflarında ortaya çıkar. "Sonlu gruplara yönelik bir Lie yaklaşımı" makalesinde ( http://www.springerlink.com/content/737l003226935515/ adresinde bulunabilir)/a>), Alperin Lie grupları ve sonlu gruplar arasında bir analoji ortaya koyuyor. 4. sayfadaki tabloya bakınız. Özellikle, Lie gruplarının Borel alt gruplarının, sonlu bir grubun Sylow alt gruplarının normalleştiricilerine benzer olduğunu not eder.

20
katma
Ah, bu çok hoş. Teşekkürler!
katma yazar acannon828, kaynak
Döngüsel grupların karakterizasyonu Sylow olmadan kolayca (daha fazla?) Kanıtlanabilir: $ G $ sipariş $ d $ ve döngüsel alt grup sayısı için $ c_d (G) $ yazın ve $ \ sum_d c_d (G) \ phi ( d) = | G | $ herhangi bir grup için. Böylece eğer $ c_d (G) \ leq $ $ \ mid | G | $ için 1 $, $ \ sum_ {d \ mid | G |} \ phi (d) = | G | $ ile karşılaştırıldığında $ c_ { | G |} = 1 $, $ G $ 'in kendisinin döngüsel olduğunu söyler.
katma yazar Zack, kaynak

Sylow 2 alt gruplarını kullanarak Cebirin Temel Teoremini ispatlayabilirsiniz. Kanıtın taslağı aşağıdaki gibidir:

  1. $ k $ $ \ mathbb {R} $ derece $ n $ normal uzantısına $ 2 $ ve $ G $ $ 2 $ alt grubuna 2 alt grup H = $ Gal $ (k/\ mathbb {R} $ ). Sonra $ [\ text {Fix} (H): \ mathbb {R}] = \ vert G \ vert/\ vert H \ vert $ ve bu nedenle $ H $ 2-grup $ n $ olduğundan tek ve bu nedenle olmalıdır önemsiz. Yani $ G = H $, yani $ \ vert G \ vert = 2 ^ m $
  2. Bu nedenle, $ 2 $ dizini $ 2 $ dizini $ 2 $ dizini altına alarak $ (N)/\ mathbb {R} $ $ 'nın negatif bir kare için $ \ mathbb {R} (\ theta) $ olduğunu gösterir. $ \ theta $ root ve bu yüzden $ (N) Fix = \ mathbb {C} $.
  3. Sonra hızlı bir argümanla Gal $ (k/\ text {Fix} (N)) = $ Gal $ (k/\ mathbb {C}) = 1 $ ve dolayısıyla $ k = \ mathbb {C} $. Dolayısıyla $ \ mathbb {C} $, $ \ mathbb {R} $ 'in tek uzantısıdır ve FTA hemen takip eder.

Bununla birlikte, öğrenciler büyük olasılıkla Galois Teorisi öncesi Sylow gruplarıyla karşılaşacaklar. Ancak bu, FTA'nın 'muhteşem' bir uygulama olarak kanıtını sağlamaya yönelik bir argüman değil - özellikle öğrenciler bazı temel alan teorilerine aşinalarsa. Kullandığı Galois teorisi her halükarda çok basit. Ve tabii ki kilit adım $ \ vert $ Gal $ (Syg olmadan yapılamaz) (k/\ mathbb {R}) \ vert = 2 ^ m $ olduğunu göstermektir.

Herhangi bir şey varsa, bu uygulama tam olarak hangi grup teorisi üzerine bir kursun göstermesi gerektiğini gösterirse, hangisi analitik-aromalı soruların cebirsel yapılar çerçevesinde çok daha genel olarak genelleştirilmiş bir içgörüyü içerdiğidir. (Tabii ki bazı temel analitik gerçekler hala kanıtta gerekli.)

16
katma
Açıkça herhangi bir analiz yapmadan FTA'yı kanıtlayamazsınız, çünkü $ \ mathbb {R} $ analitik bir nesnedir ($ \ mathbb {Q} $ 'ın tamamlanması).
katma yazar Alex, kaynak

Hoşuma giden, ancak hiçbir şekilde muhteşem olmayan bir uygulama aşağıdadır. Herhangi bir sonlu p grubu $ G $, $ F_p $ 'dan daha büyük olan diyagonal (birimsel matrisler) grubundaki üst üçgen matris grubuna izomorfiktir.

Pf.

  1. Bir sayı argümanı, birimsel grubun, $ F_p $ üzerindeki genel doğrusal grubun $ p $ -Slow alt grubunun olduğunu gösterir.

  2. Simetrik grup genel doğrusal gruba permütasyon matrisleriyle gömülür.

  3. $ G $, simetrik bir grubun alt grubuna izomorfiktir.

Sylow teoreminin tüm p-alt gruplarının belirli bir p-Sylow alt grubuna konjuge edilebildiği şekilde uygulanması ispatı tamamlar.

Elbette bu başka yollarla da kanıtlanabilir, ancak öğrencilerim bunu her zaman Sylow'un güzel bir uygulaması olarak alıyor gibi görünmektedir.

12
katma
İşleri tersine çevirdiğinizde, sonlu bir grup için bir p-Sylow alt grubunun varlığının, alt gruplarının herhangi biri için bir p-Sylow alt grubunun varlığını ima ettiğini, bir köşegen 1'lerin üst üçgen matrislerinin bir p GL_n (F_p) 'nin Sylow alt grubu, tüm sınırlı gruplardaki p-Sylow alt gruplarının varlığını belirtir. Serre, Sylow teoremlerinin varoluş kısmını teorik olarak tartıştığı derslerde ve kitaplarda varlığını kanıtlamayı seviyor.
katma yazar acannon828, kaynak

Soru: Cins 2 yüzeyinde her tepe noktasında üç hepton ile buluşan düzenli bir harita var mı? Cevap: hayır. İspat: Olsaydı, (Euler formülünü kullanarak) 28 tepe noktasına, 12 yüze ve 42 kenara ve bu nedenle de 84. sıradaki bir dönme simetri grubuna sahip olması gerekirdi. Şimdi bu grubun Sylow-7-alt gruplarını düşünün. Bunlardan 1'i modulo 7 olmalı ve tek olasılık bunlardan 1'i. Bu yüzden heptagonlardan birini döndüren ve düzelten rotasyon tüm heptonları döndürmeli ve sabitlemelidir. Bu işe yaramıyor, bu nedenle böyle normal bir harita bulunamıyor.

12
katma

Şimdiye kadar verilen cevapların bazılarından daha az teknik olan ve daha genel olan bir cevap vermek istiyorum. Grup teorisindeki ana sorulardan biri, gayrı resmi olarak, sadece olası sonlu grupları tanımlamak içindir. “Tarif et” ortalama bir sınıflandırma olabilir ve elbette şimdi Sonlu Basit Grupların fantastik Sınıflandırması var. Ama diyelim ki, bunun henüz bilinmediğini --- tüm kanıtlarının inanılmaz derecede karmaşık olmasından sonra. Her durumda, her sonlu grup basit değildir. Sence 15 elementli bir grup neye benzeyebilir? Veya 100 elementli bir grup? Bu gibi soruları cevaplamaya çalışırsanız, çoğu çok zordur. Elbette var olan sonlu gruplara örnekler vermek için çeşitli yaratıcı yöntemlere sahipsiniz: simetrik gruplar, dihedral gruplar, matris grupları, vs. Yaptığınız açık sonlu gruplar hakkındaki teoremlerin başkalarının bulabileceği veya bulamayacağı gizemli sonlu bir grupla ilgili bazı yapı teoremlerini istersiniz.

Başlamanın birkaç yolundan biri, her p-grubunun nilpotent olduğu sonucuyla birlikte Sylow teoremleridir. (İkinci sonuç, her p grubunun bir merkezi olduğu lemasından kaynaklanmaktadır.) Sylow teoremleri, 15 elementli bir grubunuz varsa, o zaman 5 elementli bir alt gruba sahip olduğunu ve alt grubun normal olduğunu söylüyor. Ayrıca 3 öğeli bir alt gruba sahiptir ve atlayacağım biraz daha fazla çalışmayla, 15 öğeli tek bir grup ve döngüsel grup var. Şimdi, 15 elementli grupları bulmak o kadar da heyecan verici değil, ama 15 elementli veya başka herhangi bir elementli grupları nasıl analiz edecektiniz? Özel 15 element örneğinde, Cauchy'nin her birinci bölen sırasının bir unsurunun mevcut olduğu teoremi vardır; fakat Sylow teoremleri en iyi Cauchy teoreminin daha güçlü bir versiyonu olarak anlaşılır.

Başlamak için yarı ayrı bir yol, her sonlu grubun basit bestecilere sahip bir kompozisyon dizisine sahip olduğunu gözlemlemektir. Bu, sonlu grupların sınıflandırılması problemini, sonlu basit grupların sınıflandırılmasına ve bunları bir araya getirme sorununu azaltır. Ama sonra ne? Sonlu basit grupları sınıflandırmaya başlamak için Sylow teoremlerine geri döndünüz. Yakında başka araçlara ihtiyacınız olacak, ancak Keith Conrad'ın açıkladığı gibi, bu araçların çoğu Sylow teoremlerini doğrudan kullanırken diğerleri bunları dolaylı olarak kullanıyor.


Yukarıda Sylow teoremlerinin grup teorisinde neden önemli olduğu tartışılmaktadır. Farklı bir soru teoremlerin matematiğin geri kalanında neden önemli olduğu. Bazen başka bölgelerdeki insanlar da grup teorisyenleriyle aynı sınıflandırma kaygılarına sahiptir. Örneğin, 3 manifold topolojisindeki bir soru, hangi sonlu grupların kapalı 3 manifoldların temel grupları olduğunu sınıflandırmaktır. Bu soru şimdi Geometrization ve Perelman sayesinde çözüldü. Ancak, sonlu grupların bir homoloji 3 alanında özgürce hareket edebilecekleri ilgili soru hala açık ve aynı genel sınıflandırma teorisini kullanıyor.

Ancak çoğu zaman, grup teorisi dışındaki matematikçiler, var olmayan sonlu gruplardan daha fazla olan belirli sonlu gruplar hakkında daha fazla önemserler. Sylow teoremlerinin kalbi olmadığı sonuçlarından dolayı, onları konuşmaya çok daha fazla önem veren bir izleyiciye satmak zordur. Bir araba satın almak istiyorsanız, satıcının belirli araçların asla inşa edilmeyeceği teknik bir kağıt hakkında övünmesi garip olacaktır. Bununla birlikte, matematikte başka yerlerde çok çeşitli sonlu grupların faydalı olduğu ortaya çıkmıştır: Kodlama teorisi ve kombinasyon tasarımlarında, Galois teorisinde, canavar grubu durumunda string teoride, vb. sadece var olan sonlu grupların örnekleri olarak kabul edilir. Neredeyse her sonlu basit grup, özellikle grup teorisi dışında kullanılmıştır. Sonlu grup teorisyenleri, eğer var olmayan sonuçlara sahip olmasaydı, diğerlerinin kullanması için sonlu grupları bulma konusunda da yetkin olmayacaktı.

9
katma

KConrad'ın cevabına uymak için, aklıma gelen ilk şey, Serre'nin Cassels-Fröhlich: Cebirsel Sayılar Teorisi (Bölüm VI) 'nın $ L/K $ yerel alanlarının, $ $ Gal} (L/K) $, $ K ^ \ times/N_ {L/K} L ^ \ times $ ile izomorfiktir. Belki de bu teoremi dersinizde anlatabilirsiniz, ifade güzel ve basit. İspatta önemli bir teknik adım, Bölüm 1.5'teki “Çirkin Lemma”, bazı grup kohomoloji gruplarının boyutları hakkındadır ve ispat, Sylow teoremlerini kullanarak ifadeyi $ p $ -gruplarına indirerek başlar.

5
katma
Aslında, $ p $ gruplarına indirgeme, Galois kohomolojisinde kilit bir argümandır - örneğin, bir profinit grubun kohomolojik boyutunun tanımı bile bu şekilde devam eder. Eğer biri Serre’nin Galois Kohomolojisi ’ni okursa, bundan çok şey görür. (Sizin de bildiğiniz gibi; sözde diğerleri için de geçerli)
katma yazar kevtrout, kaynak
("Tamamen yanlış" olarak mı yoksa "ifadenin kanıt için doğru şekilde ayarlanması gerektiğini" yanlış mı bilmiyorum)
katma yazar James Fee, kaynak
Anlamadığım bir şeye girdiğim için özür dilerim, ancak Cassels-Fröhlich’de hata hakkında bir MO konusu vardı ve Çirkin Lemmanın yanlış olduğunu söylüyor gibiydi. mathoverflow.net/questions/11437/erratum-for-cassels-froehli‌ ch
katma yazar James Fee, kaynak
Darij Grinberg, çok teşekkürler! Kısaca Kevin Buzzard erratum'una bakıyorum ( www2.imperial.ac.uk/~buzzard/errata) .pdf ) hata ciddi değil gibi görünüyor: ifade kolayca ayarlanabilir ve nihai hedefe eşit derecede iyi hizmet eder.
katma yazar Alex, kaynak

'' Muhteşem '' bir uygulamayı oluşturan şey, oldukça öznel bir yargıdır. Bob Guralnick, eğer birileri eğilimli ise, bu tür birçok uygulamayı vurgulayan bir kişidir. açık örnekler arayın.

Tecrübeli bir grup teorisyeninin, Sonlu Basit Grupların Sınıflandırılmasının Sylow Teoremi olmadan (en azından olduğu gibi) elde edilebileceğini iddia edeceğini sanmıyorum. Bir grup teorisyeni için, Sylow Teoremi, temel bir araçtır ve öyle temeldir ki, neredeyse düşüncesiz, nefes almak gibi kullanılır ve uygulamalarını durdurmak ve değerlendirmek için biraz düşünmek gerekir.

Bu aşırı bir basitleştirmedir, ancak 1950'lere kadar, sonlu bir grubun basit olmadığını kanıtlamak için çok fazla yol yoktu. Birkaç karakter teorik sonuç vardı ve küçük dereceli gruplar için Sylow teoremi (ve sonlu bir grubun Sylow $ p $ -subgroups sayısının 1'e uyduğu gerçeği) (faydalı oldu) “Küçük” emirler için (bazen kardinalite yerine aritmetik anlamda). Basitliği kanıtlamamanın ana aracı transfer homomorfizmi idi. Teori geliştirildi, bir kısmı koşulları bulmak için en azından Frobenius'a kadar gitti. $ G $ sonlu bir grubun bazı prime $ p $ için $ p $ 'lık bir faktör grubu vardı. Bunlar Sylow $ p $ -subgroup $ P $' nin $ G $ 'nın (bazen de ... $ P $ alt grupları).

50'li yılların ortalarından itibaren, Sylow alt gruplarının yapısını farklı şekillerde kullanan daha basit olmayan kriterler ortaya çıktı. Belirli bir yapıya sahip bir icatın merkezileştiricisine sahip olan ancak çok sayıda basit grubun olduğunu kanıtlayan Brauer ve Fowler Teoremi ve herhangi bir sonlu basit olan Sylow'un $ 2 $ grubunu ima eden Brauer ve Suzuki Teoremi Grup (hatta sırayla), sonlu basit gruplardaki grupların ve Sylow'un $ 2 $ -subrups gruplarının merkezileştirici yapısına vurgu yapan bir Klein 4 grubu içerir. Feit ve Thompson’daki Garip Düzen Teoremi ve daha sonra John Thompson’ın $ N $ 'lık grubu makalesi, Jon Alperin'in daha sonra “yerel analiz” dediği şeyin gerçek gücünü ortaya çıkarmaya başladı - $ p $ -subgroups’un yapısı ve gömülmesi ve bunların normalleştiricileri, sonlu grupların, özellikle basit grupların yapısının kilidini açmak için.Öncelikle ortaya çıkmış ve daha sonra bütün sınıflandırma için daha fazla yararlanılmış gibi görünen genel prensip, yeterince büyük ilköğretim Abelian alt gruplarının varlığında, yerel analizdi. Bazen birkaç prime göre, tercih edilen primer genellikle 2 $ 'dır; varsayılan basit grupların, onları (elbette, Chevalley, Steinberg, Tits ve diğerlerinin bilinen ve bilinen bir zarafetin birleşik açıklamalarını elde etmedeki çalışmalarını) tanımlamak için yeterli bir şekilde yapmasını engelleyebilir. (sporadik olmayan) basit gruplar da şarttı.

Neyse ki, sıradan ve modüler karakter teorisinin teknikleri, Sylow $ 2 $ -subgroups grupları, 8 $ $ 'lık temel Abelian alt grupları içermeyen sonlu basit grupları tanımlamak için çok uygundur. Grup-teorik bilgilerin kısıtlı olduğu aşırı durumlarla başa çıkmak için başka teknikler de geliştirildi: biri Glauberman'ın $ Z * $ - teoremi idi, modüler karakter teorisi kullanarak ispatlandı; $ garip bir sipariş ve $ S $ $ 2 $ -subgroup $ $ bir Sylow $ oldu, o zaman S $ 'da bir $ t dönüşümü $ Z ($) $' da konjuge olmasaydı $ Z $ 'dır S $ 'dan başka bir element.

George Glauberman, John Thompson ve Michael Aschbacher'in (özellikle diğer önemli katkıcılar vardı) çalışmaları, teknikler daha da güçlendirilip geliştirildikçe, yerel grup teorik analizinin gücünü gösterdi. Öyleyse bir cevap, Sylow Teoreminin sonlu grup teorisinin mutlak temel taşı olduğu ve bu nedenle de sonlu grup teorisinin bir bütün olarak diğer Matematik alanlarına uygulanmasının temelini oluşturduğu yönündedir.

5
katma
Geoff, lütfen cevabınızı bir tane verrrrrry uzun paragraf yerine birkaç paragraf halinde düzenleyebilir misiniz?
katma yazar acannon828, kaynak

Sıra 15'teki grupların siklikliği veya herhangi bir grup 100'deki normal bir Sylow 5 alt grubunun varlığı bile sadece bir oyuncak örneği değildir.
Sonlu bir grubun Sylow p-alt gruplarının her zaman eşlenik olması, normalin bir Sylow p-alt grubu için karakteristiği ima ettiğini kanıtlamanın bir yoludur. (Eğer bir grup, onu oluşturan endeks 100'ün basit alt gruplarına sahipse ve sıra 25'in normal bir alt grubuna sahip değilse, grubun kendisi basittir. Dolayısıyla, Higman-Sims grubu basittir çünkü Mathieu grubu $ M_ {22} $ basittir. Bu, Wilson'un "Sonlu Basit Gruplar" bölümünde yapılır.) Bunun iki sonucu, $ P $, sonlu bir grubun bir Sylow p-alt grubu ise $ G $ ve $ K $, $ N_ {G} değerine sahip bir alt gruptur. (P) \ leq K \ leq G $, sonra $ [K: N_ {G} (P)] \ equiv [G: K] \ equiv 1 \ mod {p} $ ve $ K $ $ içinde kendini normalleştiriyor G $. Özellikle, $ N_ {G} (P) $ içeren en fazla $ G $ alt grubu bu sonuçlarla sınırlandırılmıştır.
Sıra 15'teki grupların saydamlığı sadece bir oyuncak örneğinden daha fazladır, çünkü 299 = 13 * 23'teki grupların saydamlığı (aynı şekilde ispat edilebilir), Thompson'un Conway grubunun basitliğinin orijinal kanıtı kullanıldığında $ Co_ {1} $. (Bu ispat ayrıca Frattini argümanının kullanımına bir örnek de verir.)
Burnside $ p ^ {a} q ^ {b} $ - Teoremini ispatlamak istiyorsanız, Sylow alt gruplarının varlığından yararlanmanız gerekir. Bu, teoremin karakter teorik ve karaktersiz ispatlarının ortak noktalarından biridir. Karakter teorisi yoluyla, temel grup-teorik sonuç, büyüklüğü bir asal gücü olan bir eşlenik sınıfına sahip sınırlı bir grubun basit olamayacağıdır - ancak bir asalın gücüne eşit bir eşleniklik sınıfı elde edebilirsiniz. Sylow alt grubunun önemsiz bir merkezi öğesini seçerek $ p ^ {a} q ^ {b} $ sipariş grubu (kötü bir seçim yapmazsanız ve tüm grubun merkezinde değilse, bu durumda grubun belirsizliği varsa) Grup, asal emir döngüsü olmadıkça hemen geçerlidir.)
Eschewing karakter teorisi, Sylow alt gruplarının kanıtı, ağır kaldırma işlemini yapmak için Glauberman $ ZJ $ -theorem veya başka herhangi bir yerel-analitik araç kullanıp kullanmadığınızı gösterir. Ayrıca, bu kanıtlarda meydana gelen daha hafif kaldırma için bile gereklidir. Belirli koşulları sağlayan sonlu bir grubu kanıtlamak için transferi kullanırken, bu gerçeğin görünür olduğu bir alt gruba sahip olmak iyi değildir. $ H $ alt grubunun olması iyi bir şey çünkü böyle bir kişi $ \ phi: G \ 'den A $' ya önemsiz değil çünkü $ H $ 'a olan kısıtlama önemsiz. P $ bölen bir asal ise | \ phi (G) | $, o zaman dizini p'nin standart olmayan bir alt grubu çalışacaktır. $ G $ 'dan oluşan bir Sylow p alt grubu, tasarıya mükemmel bir şekilde uyuyor ve çoğu zaman önyüklemesi için kendi yapısı hakkında oldukça fazla bilgi alıyor. Burnside $ p ^ {a} q ^ {b} $ 'dan yola çıkmak mümkündür, Sylow sistemlerinin varlığının sonlu çözülebilir grupları karakterize ettiğini kanıtlamak için teorem. Sylow sistemi normalleştiricilerinin tümü sonlu bir çözülebilir grupta konjügedir ve bu gerçekler, sonlu çözülebilir gruplar teorisinin başlangıç ​​noktasını oluşturur (bu, Doerk ve Hawkes tarafından "Sonlu Çözünebilir Gruplar" da okunabilir) ).

3
katma