İlköğretim + Kısa + Faydalı

Kendinizi çok iyi bir diploma sahibi bir sınıfın önünde hayal edin Gelecekte matematik (profesyonelce) yapmayı planlıyor. Bundan 30 dakika sonra bu öğrencileri bir daha göremezsin. Onlar için % 100 faydalı olacak bir teorem sunmanız gerekir.

Ne yapardın?

One theorem per answer please. Try to be realistic.

Örneğin: 30 dakika, metrik boşlukları yerleştirmek için fazlasıyla yeterli, birlik bölünmesinin varlığını kanıtlamak, ve daha sonra nasıl kullanılabileceğini açıklayın.

P.S. Many of you criticized the vague formulation of the question. I agree. I was trying to make it short --- I do not read the questions if they are longer than half a page. Still I think it is a good approximation to what I really wanted to ask. Here is an other formulation of the same question, but it might be even more vague.

takı tipi teoremlerini beğenmeden önce; cebime koyabilir ve istediğim zaman bakabilirim. Şimdi araç tipi teoremlerini seviyorum; bir çukur kazmak veya duvar yapmak için kullanılabilecekler. Kuyumculuk tipi ve alet tipi teoremleri aynı anda olduğu ortaya çıktı. Birkaç tanesini biliyorum ve daha fazlasını bilmek istiyorum.

78
"Önkoşul yok" şartını "birlik bölümleri" örneğiyle birleştirmeyi zor buluyorum. Yoksa ideal gazları sadece gerçeğe yaklaştıran ideal lisans öğrencilerinden mi bahsediyoruz?
katma yazar Matt Miller, kaynak
Anton: Bunu kanıtlayabilirsin, ama neden izleyicinin ayrıntıları ya da önemini yatacağını düşünüyorsun? Biraz önkoşul bilgi olduğunu varsayıyor gibi görünüyorsunuz, dolayısıyla gerçekte hangi örneklerden sonra olduğunuzla ilgili kafam karışıyor. Muhtemelen, eğer beyinlerimi rafa koyarsam, bir halka, bir modül, bir projektif modül tanımlayıp sonra da Schanuel'in madalyasını ayrılan sürede yapabilirdim, ama bunu gerçekten bilen biri olmaz mıydı?
katma yazar Matt Miller, kaynak
Önceki yorumu reddedebilseydim, yapardım.
katma yazar Matt Miller, kaynak
Benim düşünceme göre, "gerçekçi olmaya çalış" deyince (tüm pedagojik sorularda onayladım; birçok tecrübeli öğretmen buradaki bazı cevaplarda öne sürülen daha gülünç ve iddialı pedagojik önerilerden bazılarını görüyor ve iyi bir güldü yazarların saflığı) sorunun belirsizliği ile başa çıkmak zordur. Yalnızca "çok iyi lisans" terimi, gittiğiniz yere göre değeri yükselecek ve azalan bir para birimidir. Bu nedenle soruyu "fazla yerelleştirilmiş" olarak kapatmak cazip geliyor, ama biraz daha düşüneceğim ...
katma yazar kevtrout, kaynak
Nitekim, Anton, 30 dakikada her türlü şeyi yapabilirsin ... ama konuştuğun konu hakkında biraz bilgi sahibi olmadıkça, üç yeni nesne, iki kavram ve bir teorem tanıtabilirsin. herkese ve sonuç olarak herhangi bir şeyin önemini anlamalarını sağlayın.
katma yazar Herms, kaynak
@Daniel; Senin için "(profesyonelce)" ekliyorum.
katma yazar crashmstr, kaynak
@Joseph, soruyu değiştirmek için çekinmeyin, ama lütfen kısa tutun.
katma yazar crashmstr, kaynak
Willie, önkoşul yok, sadece matematikten hoşlandıklarını varsayıyorsun.
katma yazar crashmstr, kaynak
@ Ton, metrik uzaylarda sürekli fonksiyonlar için birlik teoreminin partneri 3 dakikada kanıtlanabilir. Yaklaşık 5-10 dakika olan metrik boşlukları tanıtmanız ve halının altında "paracompactness" bırakmanız ve bunun yerine birkaç örnek vermeniz gerekir. O zaman hala 15 dakikanız var ...
katma yazar crashmstr, kaynak
OP, sorunun amaçlarının ne olduğunu açıklasaydı yardımcı olurdu. Cevaplar nasıl kullanılacak?
katma yazar jmbucknall, kaynak
Bu öğrencilerin kaç yıllık lisans eğitimi var? Ne bildiklerini varsayabiliriz? (Üçüncü yılın ikinci yarısında olan ve iki ay önce başlayanlar arasında büyük fark var.
katma yazar jmah, kaynak
(Sıkça sormak, çünkü Qiaochu'nun cevabının çok ileri olduğunu söyledin ... bu yüzden ilk cümlenizde yazdıklarınızı farklı bir anlayışa sahibiz.)
katma yazar jmah, kaynak
Ben de birlik örneklem bölümlerini gerçekçi bulmuyorum. Bunun ve aşağıdaki örneklerin bazılarının bir kanıt vermek zorunda kalmaması durumunda işe yaramayacağını düşünüyorum, ancak belki de yalnızca sezgisel bir fikir vermek ve daha sonra bunun neden yararlı olduğunu açıklamak - mezunlar için bir konuşma konuşması gibi. .
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
Gördüğüm kadarıyla , “4” ile ilgili teorem en iyisi olacak : İlk : dört renk teoremi İkinci : Her pozitif tam sayı dört tamsayının kareleri ile temsil edilebilir. Üçüncüsü: Her matris, dört matrisin doğrusal kombinasyonları ile temsil edilebilir.
katma yazar Jake, kaynak
Daha spesifik olmalısın. Bu öğrenciler hangi ana dallar?
katma yazar lunchmeat317, kaynak
"bir teoremi sunun": Belki de bu açık, ama ekleyeceğim: Onlara neden teoremin kendileri için yararlı olacağını gösterin.
katma yazar Joseph O'Rourke, kaynak
Bence bu soru çok saçma. Bence matematiği ses byte teoremlerine indirgemek ve “kullanışlılık” noktasını kaçırmak bence.
katma yazar scott roberts, kaynak

78 cevap

88
katma
Aklıma gelen her makul bağlamda uygun görünen bir cevap için +1. Mesela Keith Conrad, geçen yıl UGA lisans matematik kulübünde bunu başardı.
katma yazar kevtrout, kaynak
Başka bir yerde Pete L. Clark şöyle dedi: "Belki de ahlaki bir şey: sadece bir teoremi isimlendirmek maksimum derecede yardımcı olmaz, çünkü aynı teorem hem iyi bir konuşma hem de kötü bir konuşma yapabilir. onunla yapmayı planla. "
katma yazar Bill Blondeau, kaynak

işlev oluşturma ile tanışın ve birkaç uygulama yapın.

86
katma

Tekil Değer Ayrışımı, muhtemelen en kullanışlı ve her yerde var olan konseptlerden biri. Zamanın yarısı, istatistik ve finans gibi çeşitli alanlardaki eş anlamlılarını listelemeye adanabilir.

72
katma
Bunu + 1 veriyorum çünkü birinin bana bu konuşmayı lisans olarak vermesini diliyorum. Utancım için, hala kavramı üzerinde biraz bulanık.
katma yazar kevtrout, kaynak
"Tekil Değerli Ayrışma" olarak da bilinir: www1.math.american edu/İnsanlar/kalman/pdffiles/svd.pdf
katma yazar Tim Pietzcker, kaynak
Alex R., merak uyandırıcı! Bu eş anlamlılardan bazılarından bahseder misiniz?
katma yazar warspyking, kaynak
Temel bileşen analizi (İstatistikler), Schmidt Ayrışımı (Kuantum Hesaplama), çok boyutlu ölçeklendirme, Düşük dereceli yaklaşım, Çok modlu faktör analizi, "Partison" endeksi (oylama)
katma yazar Manuel Payano, kaynak

Buradaki diğer önerilerden çok daha temel bir şey söylerim (belki de izleyicilerin ilk yarıyıllarında mezun olduklarını varsayarsak)

Bir eşdeğerlik ilişkisini ve bir eşdeğerlik sınıfını tanımlar ve $ X $ üzerindeki eşdeğerlik sınıflarının $ X $ bölümlerini tanımladığını ispatlarım. (Sonra kalan 29 dakikayı felsefi önemleri hakkında konuşarak geçirin :))

Yararı elbette çok büyük ama bu sadece açıkça anlaşılırlığına bağlamamız gerektiği anlamına gelmiyor. Aklımda aynı zamanda liseyi üniversite düzeyinde matematikten ayıran çok derin sezgileri de kodlar. Birkaç isim:

  • Cebirsel paradigmanın izomorfizme doğru kaymasını önleyen eşitlik ilişkisinde metafiziksel olarak "özel" bir şey olmadığı gerçeği
  • Belirli özelliklerle ilgili bilgilerin, bir ilişkiyi tatmin eden nesne sınıflarına baktığımızda daha iyi yakalanması olgusu
  • Analizin temellerinin, “işlevler ve türevler” den daha kavramsal olarak esnek (ve yeniden yorumlanmaya ve hatta yeniden keşfedilmeye elverişli) olmasıdır.
  • Bir denklik ilişkisinin tanımlaması tarafından kodlanan bilgiler kesinlikle minimum ve anlamsızdır (bu nedenle çoğu lisans öğrencisinin, bu yüzden çoğu öğretim görevlisi tanımlamak için zaman harcadığında neredeyse hakaret etmekteydi) ve derinden derin sezgilerden sorumlu olduğunu anlayabilmem - Grothendieck grubunu düşünün.
  • Çok erken, cebirsel öncesi bir aşamada yapısalcı düşüncenin önemini ortaya çıkarır (bu daha kişisel ama yine de kişiseldir)
59
katma
Benim tahminim , Zen’in "L = 1 [0 , 1] $ eşdeğerlik sınıfı ... "
katma yazar Matt Miller, kaynak
Bazen yararlı olmasına rağmen, denklik sınıflarının çağdaş matematikte yoğun olarak kullanıldığını ve denklik ilişkilerinden çok daha az kullanışlı olduğuna inanıyorum. Bu noktada E. Bishop ile tarafa eğim var. Pek çok insan gerçekten gerekmediğinde şeyleri sınıfa koymakla sağlıksızca takıntılı görünmektedir - sadece iki farklı nesnenin eşdeğer olduğunu bilmek, birçok durumda gerçekten tek ihtiyacınız olan şeydir.
katma yazar Alex Angas, kaynak
@ Chuch: Belki de denklik sınıflarındaki (iyi!) Puanlarınız yeni başlayanlar için biraz fazladır. Bütün bunlar matematik eğitimi sırasında yavaş yavaş geliştirilmelidir. İyi bir başlangıç ​​noktasının çok özel bir örnek olacağını düşünüyorum (örneğin, Z'den N'nin yapımı).
katma yazar Farinha, kaynak
@LSpice Zen'in aklında ne olduğunu (ve onun fikrini kabul ettiğimi) bence iyi anlaşılmış bir temel alanın üzerindeki alan uzantıları gibi bir örnek, bu durumda size bir izomorfizm sınıfını düşünmeniz için bir fikir vermez. Bir uzantının başka bir izomorfik olabileceğini anlarsanız (yani, bir uzantı türünün 'benzersiz' bir uzantı olduğunu düşünerek) (uzantı olarak.) {FOL} _ = $ denklik sınıfları olmadan, burada kesinlikle işe yararlık/temel ilkeler arasında keskin bir ayrım var.
katma yazar sal, kaynak
... ve lisans öğrencilerine denklik ilişkileri tanıtmak isteseydim, kesinlikle piyano kullanırdım (modlar, beyaz tuşlar ve siyah tuşlar, ölçekler, oktav ...
katma yazar George Law, kaynak
Zen, bu konuyu açıklayabilir misin? Bağışsız bir yapıcı olmayanlar için, denklik sınıfları ve denklik ilişkileri tam anlamıyla aynı şeydir. Birincisinin düşüncesinin “belirsiz” olduğu düşüncesinin “daha ​​iyi” olduğu bir örneği açıklayabilir misiniz?
katma yazar warspyking, kaynak
@Chuck: Alan uzantıları söz konusu olduğunda, eşdeğer uzantı sınıfları yerine izomorfizmler açısından düşünmenin daha iyi olacağını kabul ediyorum. Ancak, bir denklik sınıfının alınmasının, komplikasyonlardan kaçınmak için yapılacak en basit ve en doğal şey olduğu durumlar vardır: örneğin, bir manifoldu bir eşdeğerlik sınıfında bir set olarak tanımlamak, garip bir kavram kullanmaktan kaçınmanıza izin verir " atlaslı boşluklar "ve aralarında izomorfizm veya" atlasların değişmesi ".
katma yazar Tim Kennedy, kaynak
Sanırım Zen, bizi (Cantor's) Set teorisinden (D. Hilbert'in övdüğü ve doğru hatırlıyorsam, onlardan alınmayacağımızı söylediği) çıkarmasından dolayı tehlikeye atıyor. Set Teorisinin nihai düşünme yolu olmadığı konusunda hemfikirim, ama çok yardımcı oluyor.
katma yazar Ted, kaynak

olasılıksal yöntem ne olacak?

Aralarından seçim yapabileceğiniz çok sayıda basit, kendine yeten örnek var ve kombinatoryalistler için bile yeterince unutulmaz özlü bir sloganı var. (Açıkça bir şey inşa edemez mi? O zaman rastgele inşa et!) Hepsinden iyisi, güzel bir vay faktörü var: Birçok lisans öğrencisi matematikte yapıcı olmayan fenomenlere aşina olsa da, hakkında bir şeyler söylemek için buna başvurmamız gerekir sonlu grafikler oldukça şaşırtıcı.

48
katma
Bu yöntemle çözülen en sevdiğiniz sorunların bir listesini verebilir misiniz?
katma yazar crashmstr, kaynak
katma yazar TomShreds, kaynak
46
katma
Bu kesinlikle% 100 yararlı kriterini karşılamaktadır, ancak en azından burada UGA'da bu standart müfredatın bir parçası (soyut cebirde), bu yüzden bir konuşmada tartışılması gerektiğinden emin değilim. Öyle olsaydı, öğrencilerin bir kısmının bileceğini ve kimsenin bilmeyeceğini, ki bu ideal olmadığını düşünürdüm.
katma yazar kevtrout, kaynak
@Todd: Ben normalden daha az kabul edilebilirim, evet. Bunun için üzgünüm. Ama "Bir derste gördülerse, bir derste gördüler" ile aynı fikirde değilim! Tecrübelerime göre, CRT, fonksiyon üretme işlevinden çok daha standart olmakla birlikte, yine de bu, konuma bağlı olarak değişebilir. Öte yandan, belki de CRT ile ne demek istediğinizi yanlış yorumladım. İsteğe bağlı bir halkada ikili eş değerde ideal ideallere sahip olanı kastediyorsanız, o zaman çeşitli özel durumları ve uygulamalarını tartışan bir konuşma, özellikle öğrenciler en klasik sürümü zaten görmüşse, gerçekten çok güzel olabilir.
katma yazar kevtrout, kaynak
Belki de burada ahlaki: sadece bir teoremi isimlendirmek son derece yararlı değildir, çünkü aynı teorem hem iyi bir konuşma hem de kötü bir konuşma yapabilir. En iyisi, onunla ne yapmayı planladığınızı biraz söylemek.
katma yazar kevtrout, kaynak
Biri, CRT uygulamaları üzerine yapılan MO sorusunun cevaplarından seçim yapmaktan ve seçiminden daha kötü bir şey yapabilir: orada gerçekten çok iyi şeyler var
katma yazar kevtrout, kaynak
@Pete: "Bir derste gördülerse, bir derste gördüler" görüşüne katılmıyorum. Ancak, "bir derste gördülerse, bir konuşmada tartışmanın anlamı yok" fikrine katılmıyorum. Soyut cebir öğrencilerinizin çoğunun, CRT'nin ne dediğini ve soyut cebirden bir yıl sonra neden önemli olduğunu tartışabileceğini düşünüyorsanız, ya öğrencileriniz için sizi kıskanıyorum, öğretme kabiliyetinizi kıskanıyorum ya da naïvet'inize acıyorum.
katma yazar Grégoire Cachet, kaynak
İç çekmek. Fonksiyonları üretme konusunda da aynı şeyi söyleyebilirsiniz: eğer bir derste gördülerse, bir derste gördüler. Gerçekten, bir tamsayılar ve polinom halkası R [x] durumunda, herhangi bir soyut cebir olmasalar bile, biraz iyi bir uygulama ya da iki uygulama yapabileceğini kastetmiştim. (Gerçekten editoryal moddasınız, değil mi? :-)
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
Doğru, cevabımda daha az tembel olabilirdim (belki de diğer tek gömlekler tarafından haksız yere sallandım). Sonra tekrar, dersi henüz planlamadım; Bu temayla yapabileceğiniz birçok şey olduğunu biliyordum ve en seçkin nugget'ların ne olacağı konusunda karar vermedim.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak

Euler's formula $V - E + F = 2$.

45
katma
Alternatif olarak, Provalar ve Refütasyonların kopyalarını dağıtabilirsiniz ...
katma yazar Dan Roberts, kaynak
42
katma
Quot Pete Clark: "Belki de ahlaki bir ahlaki: sadece bir teoremi isimlendirmek çok yardımcı olmaz, çünkü aynı teorem hem iyi hem de kötü bir konuşma için yapabilir. Bununla birlikte."
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
@PhilIsett One iki üniformanın toplamının üçgen olduğunu kolayca gösterebilir. Bir de Excel kullanabilir ve böylece bazı deneysel matematiği çağırır.
katma yazar George Law, kaynak
Undergrads zaten Fourier dönüşümünü bilmiyorsa, gerçekte sağlayabileceği temel bir kanıt var mı?
katma yazar Rong Ge, kaynak
"Rel =" nofollow nooreferrer "başlığı"> amazon.com/Heads-Tails-Introduction-Theorems-Probabili‌ ty/dp/& hellip; veya Tails: Olasılıkta Limit Teoremlerine Giriş Lesigne, özel bozuk para atma işlemi için temel bir kanıt içerir.
katma yazar Debbie M., kaynak
37
katma
… Ama Güvercin Deliği Prensibi kendisi son derece sıkıcı (bence); hepsi uygulamalarda. Hangilerini gösterirsin?
katma yazar warspyking, kaynak

Belki (uygun şekilde zayıf bir sürümü) Brouwer sabit nokta teoremi ? Örneğin, pürüzsüz haritalar için sürümü veya düşük boyutlu olarak topolojik sürümünü kanıtlayabilirsiniz. Ve teorem hakkında o kadar çok genelleştirme var ki, öğrenciler gelecekte topolojik sabit noktaların bir versiyonuna girmeye mecbur görünüyorlar.

Topolojik sabit noktaların bir uygulaması olarak, Littlewood'un Kings Cross ve Cambridge arasında seyahat eden bir trende bir ucunda durmayacak bir çubuk koymak için her zaman bir yol durdurabileceğinin bir kanıtı olduğunu bile söyleyebilirsiniz. (Aslında, Miscellany 'in [Bölüm 1, Asgari hammaddeli matematik] bölümünün tamamı, sorunuzun cevaplarından ibaret değil mi?)

34
katma
Willie, Courant ve Robbins’in tartışmalı argümanı (her iki yönde de) bu mu?
katma yazar Matt Miller, kaynak
+1: Yine, bu evrensel olarak uygun ve kullanışlı görünüyor.
katma yazar kevtrout, kaynak
Sanırım dim = 2
katma yazar crashmstr, kaynak
@Yemon: Courant ve Robbins tartışmalarını bilmiyorum. Littlewood'un argümanı şuna benzer: önce çubuğun dinamiğinin başlangıç ​​pozisyonuna göre sürekli olduğunu varsayıyoruz. Daha sonra, her başlangıç ​​pozisyonu çubuğun sonlu bir sürede düşmesine neden olursa, bu, diskten sınırına sürekli bir geri çekilme sağlar, bu imkansızdır. Hmm, muhtemelen yukarıdaki "kanıt" kelimesinden alıntı yapmalıydım ... diyelim ki ofisim dışındaki Hardy-Littlewood anma bankının onuruna bırakmıştım.
katma yazar jmah, kaynak

Edit (Dec 2016): Encouraged by a few comments on MO, and a few direct emails about this post, I wrote up the ideas below for a journal of math education. The citation, and linked pre-print, are:

Dickman, B. (2017). Zenginleştirilebilir Bölünebilirlik: Çoklu Provalar ve Genellemeler. Matematik Öğretmeni, 110 (6), 416-423. Baskı Öncesi (ödemesiz).


Bu soruyu matematik-eğitim etiketi içinde arayarak karşılaştığımda, soruyu Matematik Eğitimi alanındaki birisinin perspektifinden cevaplamaya çalışacağım.

Theorem: $n^2 - n$ is even for all natural numbers $n$.

çok iyi lisans öğrencilerinin (birinci sınıfları hayal ediyorum) tahtaya yazılan böyle bir "teorem" görmekte gülecek olması muhtemel; profesyonel matematikçilerin araştıracağı neredeyse kesin. Yine de, geçmişte matematik eğitiminde lisansüstü öğrencilere mezun olmak için ileride ortaokul matematik öğretmek isteyen öğrencilere yaptığım bir konuşma. Bu soruda verilen parametrelerin bazı makul yorumlarına göre, bu iki grubun burada konuşmayı özetleyecek kadar düşünmeliyim.


Teoremi tahtaya yazdıktan sonra, her biri bir ispat yöntemi önerdiği düşünülen bir başlık koleksiyonu yazarım. Başlıklar yazıldıktan sonra, öğrencilere teoremi gerçekleştirebileceklerinden emin oldukları bir yöntemi kullanarak ispatlamaları ve daha az emin oldukları başka bir yöntemi kullanarak bir kanıt denemeleri için üç dakika veriyorum. Aşağıda başlıkları yazacağım, parantetik olarak takip edeceğim, bunları yazarken yüksek sesle söyleyebileceğim bir açıklama ve ardından ispatın kısa bir göstergesi.

Cases: (Probably you don't need more than two) The cases I am thinking of are even and odd; check what happens when $n = 2k$ and then check what happens when $n = 2k+1$.

High School Algebra: (Factoring) Write $n^2 - n = (n-1)n$ as the product of consecutive integers, hence once of them must be even; so the product is even.

Number Theory: (This might not mean so much to you all as freshmen; we'll return to it later!)

Arithmetic: (I'm thinking of adding up a certain arithmetic sequence) Consider the sum of the first $n-1$ natural numbers; this gives some natural number $k = (n-1)n/2$. Multiplying both sides by $2$, we find that $n^2 - n = (n-1)n = 2k$ is even.

Geometry: (How would you represent $n^2$ with a geometrical picture?) Consider an $n \times n$ array of squares; remove the $n$ squares along the diagonal. The number of squares remaining is $n^2 - n$ and one sees symmetrically that they have been split into two groups of equal size. Hence the total is even.

n = 4

Combinatorics: (I'm thinking of forming two person committees...) The number of two person committees in a group of $n$ people is some integer $k = (n-1)n/2$. Cf. Arithmetic.

Mathematical Induction: (For students familiar with induction, you might give this a shot) The base case is clear; suppose $k^2 - k$ is even and note $(k+1)^2 - (k+1) = k^2 + k = (k^2 - k) + 2k$ is the sum of two even numbers, and hence even.


Yukarıdakilerin amacı, basit görünen bir ifadenin bile çeşitli şekillerde kanıtlanabileceğini göstermektir. Bu tür bir gösterimin, herhangi bir teoremden daha fazla olmasının, tüm öğrenciler için (OP tarafından belirtildiği gibi) faydalı olması muhtemeldir. Genelde öğrencilerin cevaplarını tartışmasını ve sonra da herkes için faydalı olması gereken başka bir şey hakkında konuştuğumuz teoremini kullanırım: genelleme.

Yukarıdaki kanıtlar şu gerçeği sık kullandı: $ (n-1) n = n ^ 2 - n $.

Aşağıdaki ifadeleri nasıl genellersiniz?

Statement A: If $n \in \mathbb{N}$, then $2$ divides $(n-1)n$.

Statement B: If $n \in \mathbb{N}$, then $2$ divides $n^2 - n$.

Önceki açıklama (aklımda) $ k $ 'nın ardışık $ k $ sayılarına bölündüğünü; İkinci ifade, (bence) $ k $ 'nın $ n ^ k - n $' a bölündüğünü göstermektedir.

$ K = 3 $ olduğunda düşünün.

Sonra ifadeler olur:

Statement A: If $n \in \mathbb{N}$, then $3$ divides $(n-1)n(n+1)$.

Statement B: If $n \in \mathbb{N}$, then $3$ divides $n^3 - n$.

Sadece bu ifadeler doğru değil, aynı zamanda çakışıyor: $ (n-1) n (n + 1) = n ^ 3 - n $.

This overlap breaks down for $n>3$, though, and we find that only A is true for $n=4$. (Perhaps a good point at which to mention how a single counterexample can disprove a for all statement.)

Buradan sonra konuşma, A 'nın modüler aritmetik için iyi bir hedef olduğunu düşünürken, B pratikte bizde tutulacağı $ k $' ı bulmamız için yalvarır. Elbette, bu soruyu Sayı Teorisi 'ni (daha önce de belirtildiği gibi) kullanarak ve daha kesin olarak Fermat'ın Küçük Teoremine hitap ederek cevaplayabiliriz.


Yukarıda özetlenen konuşmanın, çok sayıda kanıt bulma olasılığı ve basit bir önermenin genelleştirilebileceği ilginç yönler hakkındaki mesajlarıyla, matematikteki birinci sınıf öğrencileri için pratik ve yapılabilir bir otuz dakikalık konuşma olduğuna inanıyorum. Groebner üsleri uygulama veya ultra ürünlerden faydalanma konusunda hiçbir şey yapmadım, ancak OP'nin gerçekçi olma talebini dikkate almaya çalıştım.

33
katma
Çok ilham verici! Yine de, aritmetik kanıtı, $ n (n-1) $ 'in $ 1 + 2 + \ ldots + (n-1) $ ve $ (n-1) + (n-2) + \ ldots + 1 $. Ancak bu açıkça bir zevk meselesidir.
katma yazar Malloc, kaynak
Güzel anlatım :)
katma yazar crashmstr, kaynak
Bu gerçekten harika bir cevap.
katma yazar TomShreds, kaynak
[Bu yorumun yapıldığı sırada] üç oy kullanma yetkisinin ne olduğunu bilmiyorum, ama "$ n ^ 2 - n = (n-1) n $ 'nin" olduğu fikrine inanıyorum. çoklu ispatlara uygun önerme, JDH'nin yaklaşmakta olan kitabında matematikte ispat yazımı kitabında görünecektir.
katma yazar Benjamin Dickman, kaynak
Şimdi bu gerçekten orijinal soruya cevap veriyor!
katma yazar Matemáticos Chibchas, kaynak

Newton'un doğrusal olmayan (denklem sistemleri) denklemlerini çözme yöntemi. Sunumun nasıl yapılacağı öğrencilerin seviyesine ve ilgi alanlarına bağlıdır. Kare kökü yüksek hassasiyetle bulmak için hızlı bir algoritmadan, dinamikteki bazı gelişmiş konulara kadar değişebilir.

27
katma
Auguste, Wikipedia'ya göre, Dunford'un ayrışması, Jordan'ın ayrışmasıdır. Eğer öyleyse, onu bulmak için hangi denklem sistemini çözersiniz? Bildiğim yaklaşım Çin Kalan Teoremi ile belli bir sistemi çözüyor; Newton'un metoduyla aynı sistemi çözüyor musunuz?
katma yazar warspyking, kaynak
Ayrıca $ R ^ n $ gibi başka alanlarda da çalıştığını öğrendiğimde şaşırmıştım. : - Dunford ayrışmasını bulmak için $ M_n (k) $ cinsinden. - Uygunluğu çözmek için $ Z/nZ $ cinsinden. - $ Z_p $ 'de, Hensel lemmasını ispat etmek için, ancak bu durum $ R ^ n $' den oldukça benzer.
katma yazar Kuba Ober, kaynak
@ L Spice: Ben buna Dunford diyorum çünkü Fransız terimi. Benim yöntemim şudur: $ P (x) $, $ A $ matrisinin karakteristik polinomu olsun ve $ Q (X) olsun: = P (X)/(gcd (P '(X), P (X)) )) $ ($ caract (k) = 0 $ varsayalım, aksi takdirde $ Q (X) $ için formül daha karmaşıktır). $ A_0: = A $ ve $ A_ {n + 1}: = A_n-Q (A_n)/Q '(A_n) $ ile tanımlanan sırayı dikkate alın. Sonra tüm $ n \ geq log_2 (size) $ için $ A_n $ matrisi, $ A $ 'nın yarı-basit kısmıdır (temel nokta, yarı basit parçanın $ Q (X) $' in sıfır olduğunu fark etmektir. vektör alanı $ k [A] $). Yöntemini bilmiyorum, o yüzden aynı olup olmadığını söyleyemem.
katma yazar Kuba Ober, kaynak
@ L Spice: Bana yönteminizden bahseder misiniz? (ayrılma için üzgünüm, ancak yorum çok uzundu).
katma yazar Kuba Ober, kaynak

Picard–Lindelöf theorem on existence and uniqueness of solutions to ordinary differential equations, introducing Picard iteration along the way.

25
katma
Willie, bu soruyu hazırlarken bu teoremi örnek olarak dahil etmek istedim.
katma yazar crashmstr, kaynak
@Alexander Chervov: teşekkürler. Sabit.
katma yazar jmah, kaynak
Wiki bağlantısı kesildi
katma yazar sbeskur, kaynak
Ve not almayı unutmayın - bu gerçekten güzel bir öneri. (Aslında benim zevkime göre Merkez Limit Teoremi bir numara :) Her ikisi de meksikada iyi öğretilmemiştir.
katma yazar sbeskur, kaynak

Hopf fibrasyonu üzerine kısa bir sunum, bu kadar merkezi bir örnek olduğu için çok yararlı olabilir. Temel yapma düşüncesi somut bir bakış açısı almak ve çok fazla resim eklemek olacaktır.

23
katma
Niles Johnson youtube'da bu türden çok hoş bir konuşma yaptı: nilesjohnson.net/hopf.html yüksek enerjili müzik eşliğinde mükemmel görseller (sonunda) ile tamamlandı. Temel olarak bir Hopf küre disko topu.
katma yazar George Law, kaynak

Salon Evliliği teoremi

Bu, kombinatorik, analiz, cebir, hesaplama karmaşıklığı ve daha birçok konuda çok faydalı bir teoremdir.

21
katma
21
katma
Bunun özellikle her türlü geometri veya topoloji ile ilgilenen öğrenciler için geçerli olduğunu düşünüyorum. Gazetelerde ve konuşmalarda "Arzela-Ascoli'nin izini süren ..." ifadesini kaç kez gördüğümü söyleyemem.
katma yazar Strelok, kaynak
Bağlantı koptu. (Umarım) birini düzeltin: en.wikipedia.org/wiki/ ARZEL% C3% A0% E2% 80% 93Ascoli_theorem
katma yazar Andrey Neverov, kaynak

Denklemleri çözmek için Groebner Bazları 'nı kullanın. Sadece sözlük teorisini disucssing teorisi olmadan kullanın. Mash, polinom uzun bölümünü ve Buchberger algoritmasını tek bir mekanik prosedürde genelledi. 30 dakika oldukça sıkı, ama yapılabilir.

20
katma
Bunlar faydalıdır, ancak% 100 faydalı olacağı garanti edilmez. Muhtemelen çoğu matematikçi onları asla kullanmayacak ve onlarla yalnızca çok belirsiz bir tanıma sahip olacaksınız.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
Groebner üslerini genel olarak çok değerli buluyorum, sadece çok kolaylaştırıyor!
katma yazar RQDQ, kaynak

Borsuk-Ulam theorem. A very useful topological theorem. It is very easy to state and to describe some applications, or alternatively to describe what is involved in a proof.

19
katma
17
katma

Lagrange teoremi (bir su grubunun sırası, grubun sırasını böler).

13
katma
Fermat'ın küçük teoremini ispatlamak için kullanabilirsiniz, kombinasyon sonuçlarını kanıtlamak için bir grup eylemle karıştırın ya da $ p $ düzenindeki öğelerin varlığı üzerine Cauchy'nin teoremini kullanın.
katma yazar MidnightGun, kaynak
Bu, beni diğer fikirlerin bazılarının tam tersi bir problemi olduğu için vurguluyor: bunda yarım saatimi doldurmak zor görünüyor.
katma yazar jt., kaynak

Temel simetrik polinomlar, simetrik polinomların halkasını oluşturur.

12
katma
Serbestçe (değişmeli anlamda)!
katma yazar James Fee, kaynak
(Evet, "özgürce" olmadan bu gerçeği uygulamak o kadar kolay değildir.)
katma yazar James Fee, kaynak

Normal operatörler için spektral teoremi .

11
katma
Temel bileşen analizi bağlamında veri analizi. Kablosuz iletişim ve bilgi teorisi başka bir örnektir. Temel olarak bir MIMO sisteminde ne kadar bilgi iletişim kurabildiğinizi kanal matrisinin spektrumu ile ilişkilendirirsiniz.
katma yazar Gopherkhan, kaynak
@Jon Bannon: Normal operatörlerin kuantum mekaniğinde rasgele değişkenler olarak yorumlanması. Çözücüler kullanarak Green fonksiyonlarını bulma. Normal operatörler için fonksiyonel hesap. Lie gruplarının temsil teorisi. Harmonik analiz Spektral grafik teorisi. "Neden spektral teorem% 100 yararlıdır" sorusu, herkes için büyük bir listeyi hak ediyor ...
katma yazar Pacerier, kaynak
@JonBannon: Ah, özür dilerim! Her nasılsa, araştırmamın ilgi alanlarına baktıktan sonra neden sormak istediğin hakkında kafam karışmış olsa da sorunun amacını yanlış anladım. Bu küçük listenin bir araya getirilmesi benim için öğreticiydi, her durumda, bana ilham verdiğiniz için teşekkürler. : P
katma yazar Pacerier, kaynak
Bunu sevdim Gabriel. Neden% 100 faydalı olacağını düşündüğünüzü söyleyebilir misiniz? (Ben sadece merak ediyorum...)
katma yazar vettipayyan, kaynak
Müthiş Gabriel, teşekkürler!
katma yazar vettipayyan, kaynak
@Vectornaut: Koroya vaaz vermek. Cevabı biraz doldurduğunuz için teşekkürler!
katma yazar vettipayyan, kaynak

İzoperimetrik eşitsizlik.

  • Geometride sıradışı.
  • Varyasyonel sorunların daha kolay örnekleri arasında.
  • Neden "obvioius" olan şeylerin kesin kanıtlarına ihtiyaç duyduğumuzu göstermek için kullanılabilir.
11
katma
Hem yanlış teoremlerin yanlış ispatlarını hem de gerçek teoremlerin yanlış ispatlarını önlemek için titizlik önemlidir ve ilginç matematiğe yol açan izoperimetik eşitsizliğin birçok yanlış ispatı vardır. Örneğin, bkz: mathdl.maa.org/mathDL/ 46/& hellip;
katma yazar jt., kaynak
“Neden“ açık ”olan şeylerin kesin kanıtlarına ihtiyaç duyduğumuzu göstermek için kullanılabilir.” Bunun nasıl bir örnek olduğunu anlamıyorum - titizlik ihtiyacının bir örneği "açık sezginin" yanlış olduğu bir durum olabilir. İsoperimetrik eşitsizliği ispat etmeden kabul etseniz bile, "açık" olarak kötü bir şey olmaz.
katma yazar Arpi, kaynak

Tamam, bu gece benden sonuncusu.

Separating hyperplane theorem and/or the Riesz extension theorem. The finite (or 2) dimensional version is fairly easy to illustrate and not too hard to prove. And of course as an example application you can assume the infinite dimensional version and derive Hahn-Banach Theorem (the version about extending linear functionals). Consider its use in convex and functional analysis, at least some of the students will run into something like this in the future.

11
katma

Gerçek simetrik matrisler için bir sonuç olarak min-max prensibi ve spektral teorem. Bunu genellikle hızlı bir şekilde vektör analiz dersimde $ \ mathbb {R} ^ n $ 'de fonksiyonların ekstremalarını bulma örneği olarak öğretiyorum.

11
katma
Evet, ben de hoşuma gitti. Her zamanki yaklaşım, karmaşık girdilerle ve cebirin temel teoremiyle Hermitian matrislerden geçer, ancak gerçek simetrik matrisler için spektral teorem sadece "Lagrange çarpanları" yöntemi ile yapılabilir.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak

Alternatif grubun sadeliği, $ n \ geq 5 $ için n .

11
katma
Sormalıyım, $ n> 4 $ yerine $ n> 4 $ ve $ n <5 $ yazmanızın belirli bir nedeni var mı? Eskiden her zaman ayrıştırmayı biraz zor buldum (ki bu benim açımdan kişisel bir başarısızlık olabilir).
katma yazar jmah, kaynak
LaTeX kodunu en aza indirmek için ... haklısın, aptalcaydı. Düzenledim.
katma yazar rilwis, kaynak

Robinston-Schensted-Knuth algoritması

Bu, standart tablo çiftlerine permütasyonlar arasında bir harita. Bu yüzden hemen çeşitli harika gerçekler verir. Temel, kısa ve kullanışlıdır.

10
katma

Helly theorem. It is easy to motivate state and prove in 30 minutes. It is very useful in terms of application as a fundamental example of a result in combinatorial geometry.

10
katma
Sevgili Anton, Gerçekten bu mezunların ne kadar gelişmiş olduğuna bağlı. Fakat her durumda sinir teoremi 30 dakika boyunca çok zor görünüyor. İleri seviyedeki öğrenciler için sonunda Helly teoreminin Sinir teoreminin basit bir abisi olarak görülebildiğini söyleyebilirsiniz.
katma yazar Pierre Spring, kaynak
Belki sormak için biraz geç, Anton, ama% 100 yararlı derken ne demek istiyorsun?
katma yazar Pierre Spring, kaynak
Çok güzel bir teorem ama% 100 faydalı değil. Örtüşmenin sinirini tanıtmanın daha iyi olacağını düşünüyorum ( en.wikipedia.org/wiki/Nerve_of_a_covering) ve Helly'yi örnek olarak kullanın.
katma yazar crashmstr, kaynak
Hayır, sadece sinir yapılarını sunmayı ve Helly teoremini formüle etmeyi önerdim. (Çünkü sinirler% 100 faydalıdır.)
katma yazar crashmstr, kaynak
Sadece Helly'nin teoremini çok iyi bir konu ve% 100 yararlı bir teorem olarak görmüyorum, konuşmanın sonunda kesirli Helly teoreminin ifadesini kesinlikle, hipotez varsa genellikle genel fikrin güzel bir örneği olarak göreceğim. Bir teorem, neredeyse dır, ancak tam olarak yerine getirilmezse, sonuç neredeyse da doğru olmalıdır.
katma yazar 0tyranny 0poverty, kaynak

İnanılmaz, bu cevabı öncekilerde görmedim.

Cantor's Theorem & Cantor's Diagonal.

Bunların her ikisi de oldukça kısa ve biri "kardinalite" tanımını içeren 30 dakikalık bir tartışmaya sokabilir.

Onları faydalı buluyorum, doğrudan uygulanabilir olmasa bile, sonsuz nesnelerin (ve genel olarak matematiksel nesnelerin) sonlu sezgilerimizle eşleşmesi gerekmeyen şok, muhtemelen yeni matematikçilerin öğrenmesi gereken en önemli şeylerden biri. Ne yapacağınızı bilmediğinizi bildiğiniz zaman, tanımlarla yavaş ve dikkatlice çalışırsınız ve sonunda sahada serbestçe çalışmanıza izin veren sezgiyi geliştirirsiniz.

9
katma
8
katma
Manifoldlar ve diferansiyel formları 30 dakikada tanıtmayı planlıyor musunuz?
katma yazar crashmstr, kaynak
İkinci sınıf lisans programında bir kez 50 dakikalık bir konuşma yaptık, birçok detay da beraberinde getirildi, ancak kesinlikle etkileyici bir izlenim bıraktı. 30 dakika dar görünüyor, ama saçma değil.
katma yazar Steven Goldberg, kaynak
Kesinlikle bir meydan okuma. Ancak bu mutlaka karşılanamayacağı anlamına gelmez. Benim önerim, pratiklik konusundaki deneyimden ziyade lisans olarak böyle bir konuşmayı ne kadar takdir edebileceğime dayanıyor olsa da kabul etmeliyim.
katma yazar Igor Khavkine, kaynak

Theorem. $\sqrt{2}$ is irrational.

Bu 2400 yıllık eski bir teoremdir ve modern kanıtı Öklid'in elementlerinde görünen ile aynıdır. abductio ad absurdum (veya εἰς ἄτοπον ἀπαγωγή) kullanma şansını elde ettiğiniz basit bir teorik kanıt.

Note. As Victor Protsak noted, the number-theoretical proof is not the first one. The first one is believed to geometrical, using anthyphaeresis (ἀνθυφαίρεσις), i.e., proving geometricallly that the euclidean algorithm of dividing $1+\sqrt{2}$ by $1$ is periodic: \begin{align} 1+\sqrt{2}&=2\cdot 1 +v_1, \\ 1&=2\cdot v_1+v_2, \\ v_1&=2\cdot v_2+v_3, \\ \text{etc} \end{align} and thus $1+\sqrt{2}$ and $1$ are inconsummerable (ἀσὐμμετρα). It is noteworthy that, although the number theoretical proof appaears Euclid's Elements, which were written c. 300 BC, the fact that there is a proof that the square roots of positive integers less than 19 is mentioned in Theaetetus of Plato, writeen c. 380 BC. Anthyphaeresis works for every $n$, but it can get extremely complicated, as $n$ gets larger. In fact, for $n=19$, in order to establish periodicity of Euclidean algorithm, 6 steps are required, and huge geometrical figures to observe it! A few years ago I supervised a Master's thesis on this proof, and I think it makes an extremely interesting lecture.

7
katma
@VictorProtsak: Cevabımın düzenlenmiş versiyonuna bakın, tarihsel veri eklendi.
katma yazar sleske, kaynak
Aslında, "geleneksel" tek tuhaf reklam azaltma ispatının ilk olup olmadığı konusunda bazı tartışmalar vardır. Birçok kaynak, orjinal ispatın, asalların temel bölünebilirlik özelliklerini kullanmama ile tutarlı olacak olan $ d \ 17, $ d <17, $ 1,4,9,16 için $ \ sqrt {d} $ irrasyonalitesine kadar uzandığını iddia eder. Ayrıca, bazı yazarlar köşegen ve karenin kenarını içeren geometrik bir kanıtın ($ \ sqrt {2} -1 $ 'lık devam eden kesir genişlemesinin feshedilmemesine eşdeğer olan) eşzamanlı olarak icat edildiğine inanmaktadır. Tek değişkenli argümandan önce.
katma yazar Edward Nunn, kaynak
Eh, şimdiye kadar birçok kanıt var, kendilerini farklı yönlere ve genellemelere ödünç veriyorlar ve bunlar mezunlara 30 dakikalık ilginç bir ders verecek.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
@ BenjaminDickman Sana katılıyorum; belki de smyrlis daha fazla ayrıntı eklemek ister.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
@VictorProtsak Ayrıca, pentagonun geometrisine dayanarak $ \ sqrt {5} $ mantıksızlığının kanıtının, $ \ sqrt {2} $ değerinden daha önce gelebileceğini söylediğini duydum.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
@ToddTrimble Anlaşıldı; Bence Ne yapardın? belirtilen teoremden daha fazlasını içermeli ...
katma yazar Benjamin Dickman, kaynak

Bezout Teoremini tanıtacağım (wiki'de bir makale var). Bu ifadeyi genel olarak kanıtlamak zor olacak, ancak zayıf ifadenin kanıtı:

$ P (x, y) $ ve $ Q (x, y) $ değerlerinde ortak faktörler olmadan iki polinomun $ P (x, y) $ ve $ Q (x, y) $ sistemleri buna göre en fazla $ mn $ çözümüne sahiptir.

en fazla bir sayfa alır ve yalnızca iki değişkenli polinomların indirgenemez polinomda benzersiz bir faktoringe sahip olduğu gerçeğini kullanır. (örneğin, sayfa 244'ü Silverman ve Tate'in "Eliptik Eğrilerdeki Rasyonel Noktaları" kitabının ekinde kontrol edebilirsiniz).

Bu teoremin iyi bilinen güzel (veya ilkel) uygulaması Pascal teoremidir.

7
katma
Sevgili Darij, onu kullanan ben değilim ... Bu Fulton, Miles Reid, Seilverman ve diğerleri (temel olarak eğriler üzerine bir kitap yazan herhangi bir cebirsel geometri) ... sayfa 62'yi kontrol edebilirsiniz. örneğin: math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf
katma yazar sergtk, kaynak
Darij, elbette, amacını anladım. Pascal'ın Bezout'u kullanarak kanıtı önemsiz değildir. Koniklere ve altıgen çizgisinin iki üçlü çizgisinden oluşan iki azaltılmış küp tarafından oluşturulan kalemdeki belirli bir küpe uygulanır.
katma yazar sergtk, kaynak
Ders 1, biraz daha zayıf bir ifadenin yarım sayfalık kanıtını verir.
katma yazar sergtk, kaynak
Pascal'ı kanıtlamak için bunun gerekli olduğunu sanmıyorum. Nasıl kullanıyorsun (Not: $ P $ ve $ Q $ 'dan birinin doğrusal olduğu durum önemsizdir.)
katma yazar James Fee, kaynak
Demek istediğim şu ki, polinomlardan biri $ P $ ve $ Q $ doğrusal faktörleri etkilediğinde, Bezout'un gerçek bir uygulamasından söz edemezsiniz - bu önemsiz bir şey.
katma yazar James Fee, kaynak

Sperner's lemma (Two-dimensional case)

7
katma
% 100 yararlı olduğunu bilmiyorum, ancak bunun için çarpıcı bir kullanım gördüğümden (Monsky'nin bir dikdörtgeni uyumlu üçgenlere kesme konusundaki teoreminin kanıtı) bu hesaba itiraz etmem. OP'nin önerilerinin bazı cevaplardan daha makul göründüğünü not ediyorum ...
katma yazar kevtrout, kaynak
İlk yorumuma, lütfen "uygun" kelimesini "eşit alan" ile değiştirin. (Hata!)
katma yazar kevtrout, kaynak
Pete, bana bir referans verebilir misin?
katma yazar Herms, kaynak

Arşimed, küre üzerindeki düzgün dağılımın çaptaki düzgün dağılım üzerine çıktığını kanıtlar.

7
katma
İfadenin ne olması gerektiğini anlamıyorum ve Arşimed’in bunu ispatlayan biri olduğuna emin değilim. Bir referansa bağlanabilir misiniz lütfen?
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
@JeppeStigNielsen Teşekkürler! Bu çok yardımcı oldu.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
@ToddTrimble Düzgün bir kütle dağılımına (sabit yüzey yoğunluğu) sahip bir küre düşünürseniz ve dikey çapı göz önüne alırsanız, o zaman tüm kütleyi bu çapa yatay olarak yansıtırsanız, bu çap (segment) düzgün bir kütle dağılımı (çizgi yoğunluğu) elde eder . Bu, "küresel bölge" nin yüzey alanının bununla orantılı olmasıyla ilgilidir. yükseklik, $ A = 2 \ pi Rh $. Bu kesinlikle Arşimed tarafından biliniyordu ve onunla ilişkili. Lambert silindirik eşit alan projeksiyonu ("Arşimet projeksiyonu") ile ilgilidir.
katma yazar fenster, kaynak

Heisenberg'in belirsizlik prensibi.

  • Herkes kuantum mekaniğine maruz kalmalı.
  • Analizde ve olasılıkta sıklıkla görünüyor (fizikten bahsetmiyorum).
  • Fourier teorisinin bazı önemli özelliklerini gösterir.
7
katma

Tensör ürününün tanımı ve varlığı/teklik/ilişkilendirme özellikleri.

Biliyorum, bu belki de tek bir teorem değil, gözlerimdeki en kullanışlı "temel" kavramlardan biri. Şahsen, tensör ürününden bahsetmeden iki dönem lineer cebir elde ettim. Ve bundan sonraki çalışmalarım sırasında uzun süre acı çektim. Şimdi benim derslerimdeki öğrenciler için ilk ödevim/alıştırmam (ör. Diff geo).

Öğrenci gerçekten zeki olursa, bu 30 dakikada tensör cebiri gibi bir şey bile yapılabilir.

7
katma
Diğer cevaplarda olduğu gibi, burada da oy kullanmam gerekiyor, çünkü bu sadece soruya uymuyor; Belirli bir motivasyon ve uygulama yapmazsanız, bunun neden ilginç olacağı ve sadece temel doğrusal cebirin bir parçası olmadığı sürece.
katma yazar Farinha, kaynak

Birinci Mertebeden Mantığın Kompaktlığı (tam bir ürün olarak değil, ultraproducts kullanarak; onlar bir freebie olarak ultraproductlar için Teoremini alırlar.

6
katma
Sorunun parametrelerini nasıl yorumladığınıza bağlı olarak daha az ya da çok geçerli olacak olan bu cevap hakkında bir sürü çekincem var (ki bunun da belirsiz olduğunu düşünüyorum). Öncelikle OP "% 100 faydalı" dedi. Şimdi, geçen yaz öğrettiğim kısa bir dersin doruk noktasını yapabilecek kadar net bir sonuç elde ettiğimi biliyor ve beğeniyorum. Bununla birlikte, kendi çalışmamdaki hiçbir şey için Kompaktlık Teoreminin hiçbir biçimini kullanmadım yapmadım (ve ben bir aritmetik geometriyim) ve muhtemelen çalışan matematikçilerin çoğunluğunun da aynı şeyi söyleyeceğini düşünüyorum ... .
katma yazar kevtrout, kaynak
İkincisi, öğrettiğim ders, iki (en az bir terimin en az bir yorumuna göre "çok iyi" olan) öğrencilerin ( mezun olmaları ) matematik dersleri için sekiz dersten oluşuyordu. Daha önce herhangi bir matematiksel mantığa maruz kaldıkları, ultrafilterlere daha önce maruz kalmadıkları varsayılmamıştır. (Ve aslında hiçbiri bu şeylerle daha önce hiç tecrübe edemedi.) Kompaktlık Teoremini ikinci veya üçüncü derste kanıtsız bir zamanda söyledim. Son derste ispat geldi, ultrafilterleri sıfırdan tanıttım ...
katma yazar kevtrout, kaynak
Ve tüm bunları mezunlar için yarım saatte mi yapmak istiyorsun? Sanırım uçma şansına sahip olabilecek boş bir mezun kümesini (Qiaochu Yuan, Akhil Mathew, Zev Chonoles, ...) derleyebildim, ancak genel bir öneri olarak bu durumun patlaması daha muhtemel birinin yüzüne.
katma yazar kevtrout, kaynak
@Pete: Harika bir noktaya değindiniz - Birinin çok dikkatli olması gerekiyor. Ancak, dikkatlice planlamayla, kompaktlığın “büyük fikri” ve birinci dereceden teorilerin modellerini oluşturmada verdiği gücün etkili bir izlenimini 30 dakikada iletilebileceğini düşünüyorum. Keyfi bir birinci dereceden teori ve modellerini göz önünde bulundurmanın bu genel ortamının, geçmişte bir veya iki soyut cebir dersinden sonra, belirli teoriler ve modeller hakkında akıl yürütme konusunda deneyimleri olduğu sürece, lisans öğrencilerine oldukça açık olacağına inanıyorum. Başka bir şey değilse, ilham verici bir izlenim bırakıyor.
katma yazar sheats, kaynak
Hmm, "ultraproducts kullanarak" ...
katma yazar crashmstr, kaynak
Kompaktlık teoreminin işinizde uygulasanız bile yararlı olduğunu düşünüyorum. Birinci derece cümleler ve diğerleri arasındaki farkın ne olduğunu anlamanın en iyi yolu olduğunu düşünüyorum.
katma yazar Debbie M., kaynak

Fourier serisinin kısmi toplamlarının ortalamalarının tek biçimli yakınsaması, herhangi bir sürekli işlev için $ f $ $ [0, 2 \ pi] $ ile $ f (0) = f (2 \ pi) $:

$$ \ sigma_N (f, \ theta) = \ sum_ {n = -N} ^ N \ kaldı (1- \ kırık {| n |} {N + 1} \ doğru) \ widehat {f} (n) e ^ {in \ theta} \ - f (\ theta) $$

Ve Weierstrauss Polinomu Yaklaşım Teoremi: polinomlar eşit olarak $ C [a, b] $ cinsinden yoğundur. Bu, Fourier serisi sonucunun bir sonucudur veya benzer şekilde kanıtlanabilir. Sonunda, eğer zaman izin verirse, Stone-Weierstrauss Teoremi.

Tabii ki, Dirac Deltası’ndaki yaklaşımlar, konvolüsyonlar, PDE’lerin temel çözümleri, örneğin; Isı Denklemi, vb. ama sanırım sadece GERÇEKTEN iyi bir sınıf bütün bunları yarım saat içinde alabiliyordu ...

6
katma
Bence, kimliğe yapılan kıvrımlar ve yaklaşımlar, eğer başarılabilirse, harika bir fikirdir.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
(Doğru yapılırsa bence yapabilir.)
katma yazar Bill Blondeau, kaynak

Combinatorial Nullstellensatz. You may prove it and then choose your favorite applications for as many minutes as you have. I personally like to include applications to evaluation of coefficients, as explained in this MO answer, after that to additive combinatorics, like Cauchy--Davenport theorem, and to graph theory, like 3-choosability of a planar bipartite graph.

6
katma

Doğru sıralama teoremi ve bir uygulama (iyi bir setin sıralanmasından sonra transfinite özyinelemeyi kullanan). Birçok ilginç küme ve örnek bu şekilde inşa edilebilir. Veya belki de Seçenek Aksiyomu/Zorn'un lemması (diğerinden gösteriniz) ve sonra sıralı teoremi göstermektedir.

6
katma
Sınırsız özyineleme harika, ancak 30 dakika bunun için yeterli değil. (Anlayışlarını sınamak için, iyi olmayan siparişler için başarısız olduğunu göstermelerini isteyin.)
katma yazar Erik, kaynak

Fonksiyonlar için seri gösterimleri ve $ \ mathbb C $ 'ın aksine "katı" olduğu $ \ mathbb R $, farklılık ve seri gelişmeleri tartışırken.

Bu, örneğin cep hesap makinelerinin trigonometrik fonksiyonları, logaritmaları ve üstelleri nasıl hesapladığını açıklar.

5
katma

Moore closures, their relation to collections of Moore-closed sets and a characterization for closure under finitary operations.

Birisi daha sonra Moore-kapalı setlerinin neden tamamen eğimli bir kafes oluşturduğunu ve daha fazla eğimli olduğunu düşünürse tartışabilir.

Bu kesinlikle öğrencilerin farklı alanlarda tekrar tekrar karşılaşacakları bir şeydir. Moore kapanışları kesinlikle bildiğim en faydalı şeyler arasında.

5
katma
Evet, o ve yakından ilişkili olan Galois bağlantıları.
katma yazar Bill Blondeau, kaynak

Gödel'in eksiklik teoremleri

Teknik olmayan bir genel bakış oldukça kısa bir sürede yapılabilir, böylece özellikle matematiğin olası rolleri hakkında çeşitli etkilerinin tartışılmasına izin verilir.

5
katma
  • Kapalı olduğunu söyleyen ünlü Heine - Borel teoremi $ \ mathbb {R} ^ {n} $ 'nin sınırlı alt kümesi kompakt.
4
katma

Buradaki bazılarının gazabına maruz kalma riski altında, Yoneda Lemma 'yı önereceğim Minimum gerekli kategori teorisi. Beğenin ya da beğenmeyin, kategori teorisi cebirciler için oldukça faydalıdır ve erken maruz kalma çok yardımcı olabilir. (Benim içindi!)

4
katma
@Todd: Denemeye değer olabilir ... (Bugün daha iyi havamdayım sanırım.)
katma yazar kevtrout, kaynak
Yoneda Lemma'yı mezun olanlara açıklamak için, bir kategori, bir functor ve doğal bir dönüşüm kavramını (bir lisans dersinde öğretilmediği sürece, ancak öyleyse Yoneda Lemma muhtemelen o derste de öğretildi). Daha sonra lemma üzerinde çalışmaya başlayabilirsiniz. Bunun 30 dakika içinde makul bir şekilde nasıl yapıldığını göremiyorum, özellikle de sadece tanımları vermek öğrencilere herhangi bir sezgi vermedi.
katma yazar seth, kaynak
Ayrıca Yoneda lemasını da düşündüm, ama bunun zor bir durum olduğunu düşünüyorum. Bana göre, Yoneda lemması tüm matematiğin en derin "önemsizliği" hakkındadır (eğer bu çok çelişkili değilse)! Bunu 30 dakika içinde geçin (sanmıyorum).
katma yazar Bill Blondeau, kaynak
4
katma

[Taylor'un teoremini tanıtır ve örneğin fizikte ve aynı zamanda diferansiyel geometride birçok uygulamanın bulunduğunu belirtirdim. Bir yandan çok temel kanıtlar verilebilir, ancak diğer yandan "güzel" fonksiyonlara sahip pratik hesaplamalar için bu teoremi hazırda tam olarak kullanmak her zaman yardımcı olacaktır. Örneğin, Riemann Geometrisi'nde, bir metrik tensörü lokal olarak genişletmek için Jacobi alanlarıyla birlikte Taylor genleşmesi kullanılır. Bu, yerel olarak, s.t. metrik standart Euclid metriği gibi davranır, ancak Riemann eğrilik tensörünü içeren bir terim gibi bazı düzeltmeler yapılması gerekir.] [ http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor 's_theorem]

4
katma
Kalanın ayrılmaz formunu kesinlikle vermelisiniz. Bu form bir şekilde en az yedi yüz otuz kez faydalı olmasına rağmen daha az tanınmış görünüyor.
katma yazar Rong Ge, kaynak

$ G $ sonlu bir grup olsun ve $ V_i $, $ i = 1, ..., r $ indirgenemez temsiller olsun, $ d_i: = dim (V_i) $. Sonra $ | G | = \ sum_i d_ {i} ^ {2} $.

4
katma
Bu kesinlikle temsil teorisi konusundaki ilk kursta yüksek bir nokta ama neden tek başına önemli bir konu? Aksi takdirde temsil teorisi bilmeyen bir öğrenci için faydalı olur mu? (Yoksa bir öğrenciyi temsil teorisini incelemeye ikna eder mi?)
katma yazar kevtrout, kaynak
Birisi biraz temsili teoriyi bilirse, kesinlikle bunu şaşırtıcı ve heyecan verici bir sonuç olarak kabul etmek için kurulur; ancak, tipik bir lisans izleyici kitlesine, ilk önce bir temsili tanımlamak zorunda kalacağını düşünürdüm - ki, kendisi iyi yapılıp motive edildiğinde, zamanın büyük bir kısmını almalı.
katma yazar warspyking, kaynak
Mezun olduğumda, daha yaşlı bir öğrenci bana bu sonucu anlattığında Serres kitabını okumaya ikna oldum.
katma yazar Wil Selwood, kaynak

Sanov'un büyük sapma teoremi.

Hiçbir şey kanıtlamak zorunda değilim, değil mi? Eğer bir kanıt istiyorlarsa, daha sonra bir kitapta arayacaklar.

Assume the students already know about the central limit theorem. Explain how the two theorems talk about limits in different direction: let $ S_n $ be the sum of $ n $ independent variables of identical distributions (real valued, with zero mean and finite variance), the central limit theorem gives a limit of the unscaled probability $ P(S_n/\sqrt{n} < c) $, this limit is strictly between 0 and 1; whereas large deviation theorems give the rate of decrease of a probability like $ P(S_n/n < c) $.

4
katma
4
katma

Birinci mertebeden mantık için tamlık teoremi.

3
katma

Onlara "Gerçek matematik nedir" diyecektim. Bunu başarmak için Eaka'nın formülüne ilişkin Lakatos yolu ($ V - E + F = 2 $).
Her biri, bir sonraki reformu haklı çıkaran bir karşı örnek tarafından takip edilen bir dizi ardışık reformlama (giderek daha kesin) şeklindedir.

Referans: I. Lakatos, "Kanıtlar ve Reddedilmeler: Matematiksel Keşif Mantığı

3
katma
3
katma
Hangi anlamda bu% 100 faydalı olacak?
katma yazar Sergio Acosta, kaynak

Yoneda Lemma. : D

3
katma
Bunu başka biri daha önce önerdi. mathoverflow.net/questions/60457/elementaryshortuseful/…
katma yazar jmah, kaynak

Her zaman bir (monik) polinomun katsayılarının, o eksi içindeki temel simetrik fonksiyonların (eksi) o polinomun kökleri içine alınmasıyla elde edilmesi beni çok heyecanlandırdı:

$$\prod_{i=1}^n (X+\alpha_i) = \sum_{k=0}^n (\sum_{i_1 < \cdots < i_k} \alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_k})X^{n-k}$$ A lot is built on this, I think. I'd like to explain the connection to automorphisms and fixed fields and how the roots of a polynomial are permuted by an automorphism that fixes the coefficient field of that polynomial. Then maybe mention the beginnings of Galois theory.

3
katma
3
katma
Bu, daha fazla kendi kendine yeten bir çalışmaya ihtiyaç duyuyor.
katma yazar Sergio Acosta, kaynak
Aslında, bu eşitsizlik, $ r_ {0} (n) $ 'ın $ \ inf \ {r \ geqslant 0, (nr, n + r) \ içinde \ mathbb {P} ^ {2} olarak tanımlandığını göstermeme izin verdi. \} $ Goldbach'ın varsayımını varsaymakla birlikte, koşulsuz olarak n'nin "en küçük potansiyel ilkellik yarıçapı" olması koşuluyla tanımlanması, n'nin yeteri kadar büyük olması, görünüşte asimptotik Goldbach düşüncesinin kurulması için bir O $ (\ log ^ 4 n) $ olması şeklinde tanımlanabilir. Bu sitedeki 'Goldbach'ın varsayımı hakkında' sorumu ve benim oldukça ahlaksız blogum fikirlerifornumbertheory.com'a bakın. Yani evet, bu eşitsizlik faydalı ve önemlidir.
katma yazar biziclop, kaynak

Cauchy's integral theorem and Cauchy's integral formula.

Aynı zamanda mücevher türü ve alet tipi teoreminin bir örneği. Karmaşık değişkenlerin fonksiyonlarını 20 dakika içinde bilmeyen öğrenciler için bile tanıtılabilir ve kanıtlanabilir. Ve diğer 10 dakika, bu sonuçların fonksiyon teorisi ve uygulamalı matematik alanında ne kadar uygulama ve genelleme olduğunu söylemek için harcanabilir.

3
katma

Jordan normal formda.

3
katma

Sonlu Üretilmiş Abelian Gruplarının Temel Teoremi.

3
katma

Benim önerim - henüz karmaşık bir analiz dersi almadıklarını varsayarsak - Eulers formülü ve De Moivre'in formülü ve en yaygın trigonometrik işlevlerin karmaşık gösterimleriyle birlikte . Belki zaman kalırsa, güç serileri ve Cauchy ürününe değinilebilir.

Bu, öğrencilerin karmaşık analiz üzerine bir ilk kursa kadar ayrıntılı olarak açıklanmayan bazı trigonometrik kimliklerin nasıl elde edilebileceğini daha iyi anlamalarına yardımcı olabilir.

Konuların her biri, çok kısa bir süre içinde tanıtılacak kadar basittir, bu nedenle muhtemelen bazı harika uygulamaları göstermek için zaman kalmıştır.

3
katma

Nash dengelerinin varlığı. Bu 30 dakikada mümkün ve oyun teorisi, temel olasılık, temel geometri ve cebirsel topoloji arasında şaşırtıcı bağlantılar kuruyor.

3
katma

Hiç kimsenin Baire kategori teoreminden bahsetmemesine şaşırdım.

30 dakika içinde birçok uygulamayı göstermek için yeterli zamanınız olup olmadığından emin değilim, ancak bir noktada kullanmaya başlayacaklarından neredeyse kesin. Burada , MO'da tartışılan bazı uygulamalardır.

3
katma

Integration by Parts It's a powerful analytical tool and it can be used for reduction of order on complex functions.

2
katma
Ayrıca size ulusal bilim madalyasını da kazandırabilir: mathoverflow.net/sorular/53122/matematiksel-şehir efsaneleri/& zwnj; & hellip; :-)
katma yazar jmah, kaynak

Gelfand-Naimark teoremi: her değişmeli C * cebiri, bazı yerel olarak kompakt Hausdorff alanı için $ X $ ($ C_0).

  • Spektral teorem bir sonuçtur.
  • Teorem, öğrencilere bir halkanın geometrik bir nesne olduğu fikrini verir
  • Topolojideki bazı yapılar, örn. Stone-Cech kompaktlaştırma, daha şeffaf hale geldi.
2
katma
Şahsen, (yerel olarak) kompakt Hausdorff alanlarının vahşi ve vahşi hayvanlar olabileceğini söyleyen bir teorem olarak görüyorum. Paul'un dediği gibi, C * -algebras'ta normal elemanlar için sürekli fonksiyonel hesap oluşturmanın bir sonucudur ve bu kesinlikle çok faydalı bir "araç tipi" teoremidir.
katma yazar Matt Miller, kaynak
@L Spice - Belki de bu 30 dakikalık bir konuşma için, bir gerginlik. Ancak bu sonucu bir halkanın soyut tanımı için motivasyon olarak kullanmayı hayal edebiliyorum. Birisi C_0 (X) 'u sadece bir fonksiyonlar kümesi olarak tanımlayarak başlayabilir ve daha sonra ekstra yapısını listelemeye başlayabilir. O zaman soru şu soruyu sorabilir: X'i kurtarmak için yeterli bilgiye sahip olmadan önce ne kadar yapıya ihtiyacımız var? Asla böyle bir konuşma yapmayı denemedim, ama bu tamamen düşünülemez görünmüyor.
katma yazar jt., kaynak
“Elemenden ziyade” oyununun gerçekten eğlenceli olmadığını biliyorum, ama bunu önkoşulları yok ile bir konferans olarak nasıl düşünebilirsiniz? Örneğin, bir öğrenciyi bir halkanın bir cebirsel nesne… olduğu fikrine sahip değilse, bir halkanın geometrik bir nesne olduğuna (faydalı bir şekilde) ikna edebileceği şüpheli görünüyor.
katma yazar warspyking, kaynak
+1. C * -algebras çalışmıyorum, ama bu bildiğim en güzel teoremlerden biri. Bu kesinlikle bir "mücevher tipi" teoremidir. Öte yandan, değişmeyen analog (GNS yapısı), operatör cebir teorisinin temelini oluşturur; Sanırım çoğu fonksiyonel analist bunu bir "araç tipi" teoremi olarak görür.
katma yazar karmatic, kaynak
2
katma
Formülasyonu 30 dakika içinde açıklayabileceğinizden şüpheliyim. Eğer yapabilirsen, o zaman nasıl?
katma yazar crashmstr, kaynak
Sanırım metrik boşlukları ve birliğin bölünmesini tanıtmak için 30 dakika sürmekten ve konuştuğunuz şeyin öneminin tanımlarına bile hiç karşılaşmayan öğrencileri ikna etmekten daha elverişsiz buluyorum. Willie'nin ve Yemon'un yorumlarının (orijinal soruya göre) hissiyatını ikinci olarak ifade ediyorum: bir çok cevaba verdiğiniz yanıt verme cevabından, ultraproduct gibi bir kavramı içerdiği için birçok cevaba verdiğiniz cevap, benim için neyin net olmadığını açıkça itiraf ediyorum. Bu 30 dakikalık konuşmaların peşindesiniz. Bir cevap daha deneyeceğim :-)
katma yazar Eric Hogue, kaynak

Johannes’in cevabı uyarınca, “$ x_0 ^ 4 + 'ı nasıl etkileyebilirim?” Başlıklı bir konuşma yapmak istiyorum. x_1 ^ 4 + x_2 ^ 4 + x_3 ^ 4-2x_0 ^ 2 x_1 ^ 2 - 2x_0 ^ 2 x_2 ^ 2 - 2x_0 ^ 2 x_3 ^ 2 - 2x_1 ^ 2 x_2 ^ 2 - 2x_0 ^ 2 x_3 ^ 2 - 2x_1 ^ 2 x_2 ^ 2 - 2x_1 ^ 2 x_3 ^ 2 - 2x_2 ^ 2 x_3 ^ 2 - 8x_0 x_1 x_2 x_3 $ ”.

2
katma

İlk tercihim Sabit nokta ilkeleri kullanılarak Picard yinelemekti. Tekrar etmemeye çalışacağım. Bu dönem matematik dersi tarihini öğretiyorum, bu yüzden son zamanlarda aklımda bu tür şeyler var.

Beklediğim öğrencilerin ne kadar gelişmiş olduğuna bağlı olarak kesinlikle farklı seçenekler düşünecektim.

Calculus öncesi fakat yetenekli: $ \ pi $ 'ı bulmak için Arşimet yöntemi. Hesap: Fermat, $ x ^ n $ integralini bulmak için bir yöntemdir Diferansiyel Denklemler: Picard yinelemeleri/sabit nokta ilkeleri daha ileri. Brachistichrone.

Özellikle analiz için sevdiğim bir diğer konu ise süreklilik hakkındaki farklı tanımlardan bazılarını alıp eşdeğer olduklarını göstermektir.

2
katma

Daha önce Kepler's Conjecture ve Thomas Hales’in yaklaşımını tanıtırsam ne olacağını hayal edebilirim ...

2
katma
Öğrencileri etkilemenin güzel bir yolu, ancak "teknik çalışma yapmaktan korkma" mesajı dışında yararlı bir şey göremiyorum.
katma yazar crashmstr, kaynak
@ Yorum için teşekkürler :) aslında asıl mesele - öğrenciler Oyun Geliştirme ve Tasarım kursundan geliyorlar ve yakında Alienware laboratuvarına sahip olacağız - tüm bu hesaplama gücünü koyabilecekleri bir şey bulabilirim iyi kullanım :)
katma yazar F21, kaynak

Schur's Lemma. After which one can as an application, classify the simple modules for cyclic groups.

2
katma

Consider some metric spaces, then Hausdorff distance and Gromov-hausdorff convergence

Ayrıca, katagorik notasyonu tanıtmak çok faydalı olabilir.

1
katma

Altkümede kafeslerde antikanlar üzerine Sperner's Teoremi ve Ayçiçeği Lemması. Combo'da teorik olarak tanıtmak için çok az veya hiç teori gerektirmeyen iki büyük teorem

1
katma
[yanlış okumayı temel aldığı için önceki yorum silindi]
katma yazar Matt Miller, kaynak
Bu aynı kişi tarafından farklı bir teoremdir ...
katma yazar Pierre Spring, kaynak

Belki bir streç, ama ...

Minkowski teoremi ile sınıf numarasının doğruluğu.

  • Herkes en azından sınıf numarasının ne olduğu hakkında kaba bir fikre sahip olmalıdır.
  • Minkowski'nin teoreminin başka eğlenceli ve faydalı uygulamaları (örneğin, imzanın iyi tanımlanmış olması?)
  • Kafeslerin geometrisini içeren ilk ( çok ) ilginç teoremden biri.
1
katma
  • I would go for Cayley's theorem which asserts that every group is isomorphic to a subgroup of $S_{n}$ for some $n$.

Birincisi, aşağıdaki yazıya bile bakabilirsiniz:

    > -theorem
1
katma

İntegrallere Laplace yaklaşımı! Bu, tüm puanlarda iyi puan alır: temeldir (matematik 1 de öğretilebilir) ve çok faydalıdır. 30 dakika içinde, izleyiciye bağlı olarak, belki de faktörize Stirling yaklaşımı olan (genellikle kanıt olmadan kullanılan) bazı uygulamalara zaman olmalıdır.

1
katma

Çok ilginç ve çok faydalı bulduğum bir şey Tekil değer ayrıştırması . Her operatörün "neredeyse teşhis edilebilir" olduğunu ve gördüğüm birçok temel doğrusal cebir dersinde atlandığını gösteriyor.

Mesela çok sayıda uygulamaya sahibim - örneğin en küçük karelerin toplamını çözme. Bu konuda çeşitli seviyelerde 30 dakikalık konuşma yapabilirsiniz.

Daha güzel teoremler (Stokes, Uniformization ve daha fazlası) var ama bence 3 kısıtlama ile (ilginç, faydalı, küçük arkaplan) bu iyi bir konudur.

1
katma
Tekil değer ayrışması zaten önerilmiştir. mathoverflow.net/questions/60457/elementaryshortuseful/… href = "http://mathoverflow.net/questions/60457/elementaryshortuseful/60479#60479" title = "elementaryshortuseful"> mathoverflow.net/questions/60457/elementaryshortuseful/…
katma yazar jmah, kaynak

Riesz theorem or, more general, Lax-Milgram theorem.

1
katma

Her matris, dört ortogonal matrisin doğrusal kombinasyonları ile gösterilebilir.

0
katma
Kullanım örneği, belki?
katma yazar Ingo, kaynak

Bir metrik uzay bağlamında, doğal metrik kullanarak, rasyonel Cauchy dizilerinin denklik sınıfları olarak gerçekleri inşa eder.

0
katma