Sonlu basit nesnelerin sınıflandırılması

Diğer sınıflandırmaların sonlu basit grupların anıtsal sınıflandırma ruhuyla aynı zamanda “sonlu basit yapılar” olarak da bilinip bilinmediğini bilmek istiyorum. Burada terimin gayrı resmi anlamında "sınıflandırma", ancak daha sofistike bir bakış açısını dikkate alan cevapları da kastediyorum ( bu mo sorusu) kabul edilebilir, ayrıca zayıf sınıflandırma nosyonları düşünen cevaplar (örneğin bu mo soru, ki bu sonlu basit grupların sonlu birçok istisnaya dek sınıflandırılmasını ister.

Sonlu değişmeli halkaların (görünüşte eksik) durumu zaten tartışılmıştır buradaki . Sonlu p grupları, burada .

Ayrıca, bazı kategorilerdeki (veya daha yüksek kategorilerdeki) "sonlu basit nesnelerin" sınıflandırılmasını içeren cevaplar/açıklamalar, bu bağlamda ("sonlu" ve "basit" makul bir tanımın önerilmesi şartıyla) ele alınmaktadır.

7
en.wikipedia.org/wiki/ADE_classification adresini okumaktan zevk alabileceğinizi düşünüyorum.
katma yazar David Precious, kaynak
Sonlu mu demek istediniz yoksa sonlu boyutlu nesnelerle de ilgileniyor musunuz? Cevapların bazıları sınırlı olmayan alanlara aittir.
katma yazar Behzadsh, kaynak

7 cevap

Yüzyıldan fazla bir süredir ilham veren sınıflandırma, sonlu boyutlu basit kompleks Lie cebirlerinin Cartan-Killing sınıflandırmasıdır. Bu Wedderburn teorisinden önce gelir. Bu kesinlikle (?) En önemli sınıflandırmadır.

8
katma

Sınıflandırma (zaten benim için) bilinmiyor, ancak sonlu grafikler için ilginç bir 'basitlik' kavramı var:

Bir grafik homomorfizmi, köşelerden bitişik köşeler bitişik kalacak şekilde köşelere bir haritadır. Her iki yönde de homomorfizm varsa, iki grafik homomorfizme eşdeğerdir. Tüm endomorfizmler otomorfizm ise bir grafiğin 'çekirdek' olduğu söylenir. Her sonlu $ $ $ grafiği bir çekirdeğe eşlenir ve bu çekirdek izomorfizme özgüdür; dahası, çekirdek, $ G $ değerinde belirsiz bir endomorfizmin görüntüsü olan indüklenmiş bir alt yazı olarak elde edilebilir. Bu yüzden sonlu grafik teorisindeki bazı problemler, çekirdek gruplarla ilgili problemleri azaltırken, sonlu grup teorisindeki bazı problemler basit gruplar hakkındaki problemleri azaltır.

Peki, çekirdek grafikler nelerdir? Örneğin, tüm grafiklerin çekirdek olduğunu ve sadece iki taraflı çekirdeklerin 3 köşeden daha küçük tüm grafikler olduğunu görmek kolaydır.

Bunun hakkında önemli miktarda çalışma yapan Peter Cameron'dan bunu biliyorum.

5
katma

Herhangi bir $ K $ alanı için sonlu boyutlu basit $ K $ -algebralar (sıfıra uygun olmayan iki taraflı idealler anlamında basit), Wedderburn teoremi tarafından ünlüdür. Daha genel olarak, basit Artinian halkaları Artin-Wedderburn teoremi ile sınıflandırılır. Bazıları ikincisinin bir yetişkin disiplini olarak halka teorisinin başlangıcı olduğunu söylüyor.

4
katma

Yerel ve küresel alanlar üzerindeki merkezi basit cebirler, sınıf alanı teorisine göre Morita denkliğine göre sınıflandırılmıştır .

4
katma

Igor Pak'ın yorumuyla ilgili olarak, sonlu indirgenemez Coxeter gruplarının sınıflandırılması var. Tabii ki grup olarak "basit" değiller, ama indirgenemezlik basitliğin doğal yerine geçiyor; Burada "indirgenemez", Coxeter diyagramının, Coxeter sisteminin iki Coxeter sisteminin doğrudan ürünü olarak bölünmediği veya buna eşit şekilde bağlı olduğu anlamına gelir.

Sonuç, ünlü A $ $, $ B_n = C_n $, $ D_n $, $ E_6 $, $ E_7 $, $ E_8 $, $ F_4 $, $ G_2 $, $ H_3 $, $ H_4 $, $ I_ {(n)} $, buradaki son üç madde, sadece Lie grupları ve Lie cebirleri ve/veya cebirsel gruplara aşina olanlar, orada hayatta kalmadıklarından daha az tanınırlar.

Ayrıca bkz. http://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_group .

3
katma

Kurokawa's Zeta functions of categories contains the following definitions.

Definition 1: In a category $C$ with a zero object, a simple object is an object $X$ such that, for every object $Y \in C$, $\text{Hom}(X, Y)$ consists only of monomorphisms and zero-morphisms. (I don't know enough to say whether this is equivalent to the nLab definition.)

Definition 2: A non-zero object of $C$ is finite if $\text{Hom}(A, A)$ is finite.

Bu yüzden bazı basit örnekler var: $ R $ değişmeli bir halka ise, $ R \ text {-Mod} $ 'ın sonlu basit nesneleri kesin olarak $ R/m $ basit modüllerdir, burada $ m $ ile maksimum idealdir sonlu kalıntı alanı. Özellikle eğer $ R = \ mathbb {Z} $ ise, sonlu basit nesneler $ \ mathbb {Z}/p \ mathbb {Z} $ modülleridir.

1
katma

Bu, doğrudan bir cevaptan daha genel bir genelleme olmakla birlikte, orijinal poster için ilginç ve/veya yararlı olabilir.

Evrensel Cebir, öğrencinin çeşitli cebirsel yapıların uyum kafesine bakmasını sağlar. Basit cebirler daha sonra iki eşlenik bir kafes örgüsüne sahip cebirlerdir, yani gruplar için önemsiz normal alt gruplara karşılık gelmeyen önemsiz eşleşmeler yoktur. İlgili bir kavram, alt yönden indirgenemez cebirin kavramıdır. Burada eşlik kafesi benzersiz bir önemsiz en küçük eşleşmeye sahiptir, yani cebir üzerinde başka herhangi bir eşleşmede bulunan bir eşliktir (izomorfizmin neden olduğu önemsiz olan hariç). Herhangi bir basit cebir, doğrudan indirgenemez. İkinci kavramın faydası, herhangi bir cebirin, alt-yönlendirilebilir indirgenemez cebirlerin bir alt-yönlendirmeli ürünü (doğrudan bir ürünün alt-cebri) olarak gösterime sahip olmasıdır. Dolayısıyla, doğrudan ürünler ve alt algebralar (ve genellikle bunun izomorfik görüntüleri) altında kapalı olan cebir sınıflarına (tek bir benzerlik tipinde) bakıldığında, sınıf oluşturmak için alttan indirgenebilir cebirleri doğal yapı taşları olarak bulur.

Semilattices ve Boolean cebirlerinin sonlu, alttan indirgenemez cebirlerin iyi sınıflandırıldığını hatırlıyorum. Genel cebir literatürünün daha fazlasını içerdiğinden eminim.

Gerhard "Bana Sistem Tasarımı Hakkında Sor" Paseman, 2011.04.03

1
katma