Mandelbrot kümesinin sınırının parametrelenmesi

Mandelbrot kümesinin sınırlarını nasıl değiştireceğinizi bilen var mı? Ben bir fraktal geometri ya da dinamik bir sistem insanı değilim. Sadece bu soru hakkında boşta merakım var.

Mandelbrot kümesi, geleneksel olarak $ z $, $ z \ $ \ mathbb {C} $ noktalarının $ M $ değeri olarak tanımlanır, öyle ki, $ z = 0 $ 'dan başlayarak $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ işlevinin yinelemeleri , sonsuza dek bağlı kalın. Mandelbrot kümesinin en güzel tasvirleri $ M $, $ M_1 \ supset M_2 \ supset M_3 \ supset \ cdots $ kümelerinin sonsuz bir diziliminin kesişimi olarak gösterir; burada $ M_i $ sınırı $ | z_i (c ) | = K $. Burada $ z_i (c) $, $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ 'nin $ i $ th $' dır, $ z = 0 $ 'dan başlar ve $ K $, gelecekteki yinelemelerin kaçacağını garanti eden bir miktar sabittir. Bu eğriler $ \ kısmi (M_i) $, Mandelbrot setinin gittikçe karmaşıklaşan kısımlarını görmeleri için izleyiciye rehberlik eder.

Bu eğrilerin her biri $ \ kısmi (M_i) $ analitik ve kapalı. Böylece, bir trigonometrik seri ile güzel bir şekilde parametrelendirilebilirler. Daha spesifik olmak gerekirse, her sınır formun bir parametreleştirmesine sahiptir. $$ z (t) = \ toplam_ {k = 0} ^ \ son derece a_k \ cos (kt) + i \ sum_ {k = 0} ^ \ azgın b_k \ sin (kt). $$ (Aslında, $ \ partial (M_i) $ sınırlarının her biri $ c $ değerindeki gerçek ve hayali kısımlardaki bir polinom denklemi tarafından belirlendiğinden, bu serilerin her birinin sonlandırması gerektiğini düşünüyorum. sınırlayıcı yolun aynı zamanda trigonometrik bir seri ile iyi bir parametre belirlemesi gerektiğini de düşünün. Bu sınır tüm $ K $ için aynı mı? Limit $ K $ için aynı değilse, $ K \ rightarrow \ infty $ olarak bir limit var mı? Fourier katsayıları nelerdir?

21
Önerilen sınır parametrelendirmeniz benzersiz tanımlanmış gibi görünmüyor, çünkü (bildiğim kadarıyla) kanonik birim-zaman parametrizasyonu yok ve Fourier katsayıları bir yeniden parametreleme ile değiştirilecek.
katma yazar ricree, kaynak
Neden sadece sınır eğrilerini yay uzunluğuyla parametrelendirmiyorsunuz? Evet, yay uzunluğu sonsuza kadar artar, ancak bunu bir birim aralığına sıkıştırmaya devam edersiniz.
katma yazar Yursev, kaynak

6 cevap

Lasse'nin cevabı genişledi: $ \ psi $, birim dizisinin dış yüzeyinin Mandelbrot kümesinin dışına, Laurent serisine eşlenmesini sağlasın $$ \ psi (w) = w + \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n w ^ {- n} = w - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {8} w ^ {- 1} - \ frac {1} {4} w ^ {- 2} + \ frac {15} {128} w ^ {- 3} + 0 w ^ {- 4} - \ frac {47} {1024) w ^ {- 5} + \ dots $$ Elbette Mandelbrot setinin sınırı bu haritanın altındaki birim dairenin görüntüsüdür. Ancak, bu sınırın (henüz kanıtlanmamış) yerel bağlantısına bağlıdır. Burada, $ b_n $ katsayıları için bilinen bir kapalı form yoktur, ancak yinelemeli olarak hesaplanabilir. Tabii ki $ w = e ^ {i \ theta} $ koyduk ve sonra bu bir Fourier dizisi.

21
katma
Gerald: Bu oldukça iyi görünüyor. Bu sınır eğrilerinin sınırı mı? $ B_n $ katsayıları için özyinelemeli formül için bir referans verebilir misiniz?
katma yazar J. Chomel, kaynak
Gerald: İnternet üzerinden çevrimiçi olarak okumak için iyi bir yer bulduğumu düşünüyorum. /pub/muency/laurentseries.html" ; Beni doğru yöne yönlendirdiğiniz için teşekkür ederiz.
katma yazar J. Chomel, kaynak
katma yazar Adam, kaynak

Ne sorduğuna emin değilim. Mandelbrot kümesinin sınırı kesinlikle analitik bir eğri değildir. Aslında, Shishikura'nın ünlü bir sonucu Mandelbrot setinin sınırlarının Hausdorff boyut 2'ye sahip olduğunu gösteriyor.

Aslında, sınırın hiç bir eğri olup olmadığı bile bilinmemektedir (yani, yerel olarak bağlı): bu, şu anda tek boyutlu holomorfik dinamiklerde muhtemelen en ünlü varsayımdır.

Mandelbrot kümesinin yerel olarak bağlanması durumunda, Mandelbrot kümesinin sınırının doğal bir açıklaması vardır ($ M $ tamamlayıcısının Riemann haritasının sınır değerleri olarak); Bu aynı zamanda birçok yönden doğal bir kombinasyon açıklaması olarak da bilinir. Bununla birlikte, yukarıda bahsedildiği gibi, bu parametreleştirme analitik değildir, hatta $ C ^ 1 $ 'dır.

10
katma
Lassse: Tüm $ i $ ve tüm $ K $ için analitik olan $ \ parsiyel (M_i) $ sınır eğrilerini soruyorum. Örneğin, $ K = 2 $ ise, $ \ kısmi (M_1) $, $ | c | = 2 $ 'nin çemberi ise, $ \ partial (M_2) $, $ | c ^ 2 + c | = 2 $ eğrisidir. , $ \ kısmi (M_3) $, $ | (c ^ 2 + c) ^ 2 + c | = 2 $, vb. eğrisidir.
katma yazar J. Chomel, kaynak
Mandelbrot setinin sınırı olan bu eğrilerin sınırını sorduğunuzu sanıyordum? Mandelbrot setinin sınırının daha doğal bir yaklaşımının, $ M $ ("eş potansiyel") tamamlayıcısının tekdüzenleştirici fonksiyonunun seviye setleri aracılığıyla olacağını belirtmeliyim. $ K $ yeterince büyükse, bu eş potansiyeller açıkladığınız eğrilere yakın olacaktır.
katma yazar isomorphismes, kaynak

Gerald Edgar'ın cevabını genişletmek için, araştırmanız gereken bazı temel ifadeler "Douady-Hubbard potansiyeli" ve " dış ışınlar . "

Harici bir ışın, Gerald'ın uygun haritası $ \ psi $ altındaki $ $ theta $ için $ \ arg z = \ theta $ ışığının görüntüsüdür.

Douady-Hubbard potansiyeli, harici ışın argümanının yalnızca harmonik konjugatıdır . dış ışınların alan çizgileri olduğu.

$ \ Psi (\ zeta) $ 'ın birim çevrede tüm $ \ zeta $ için iyi bir şekilde tanımlandığının kanıtlanmadığından eminim, ancak böyle olduğunu tahmin ediyorum. (Bazen bu dış ışığın "iniş yaptığı" şeklinde ifade edilir.) Ancak, $ $ pi m/n $ rasyonel açılardaki dış ışınların karayla bilindiği ve ayrıca sınırdaki iniş noktalarındaki dinamiklerin ilişkili olduğu bilinmektedir. fraksiyonu $ m/n $ 'a gerçekten güzel bir şekilde. (Çevrede katlama haritası $ \ theta \ mapsto 2 \ theta $ arasında bir benzetme var ve holomorfik haritalar $ z \ mapsto z ^ 2 + c $ ve $ \ 'ın dinamiği ilk haritanın altındaki theta $, $ z \ mapsto z ^ 2 + c_ \ theta $ haritasının dinamikleri ile ilgilidir, burada $ c_ \ theta $, Mandelbrot kümesinin sınırındaki ilgili ışığın iniş noktasıdır.) Bu nedenle, sınırın bu parametrelendirilmesi gerçekten önemli ve doğal bir nesnedir (eğer iyi tanımlanmışsa, varsayıldığı gibi).

6
katma
4
katma

Benim varsayım, böyle bir parametrelendirmenin işe yaramayacağı yönünde olurdu. Koch kar tanesi gibi daha basit (bazı bakış açıları) bir yapı için benzer bir şey deneyin. Parametreleme yaklaşımınız, kar tanesini belirli bir derinlikte oluşturmak için kullanılan özyinelemeli yinelemelerin sayısına göre $ n $ işlevini oluşturmanıza izin verir mi? Sanmıyorum. En azından Koch eğrisi için etrafındaki "lastik bant" gövdesini parametreleştirebiliyor olabilirsiniz, ancak bu özyinelemeli olarak tanımlanan nesneler için önemsizdir.

1
katma

"Dış Açılar" a bakın. Görünüşe göre, herhangi bir açıda sonsuzluktan gelen, daima potansiyel çizgilere dik kalan bir çizgi, sonunda sete dokunacaktır.

http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_tr_tr_tr_tr_tr_tr_tr_tr_tr_tr_tr_tr_tr_tr_"_f_d_

http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html

Hala arkasındaki matematiği kendim bulmaya çalışıyorum. Haskell kaynakları bana şifreli.

0
katma