Siyahın gelecekteki bir seçeneğin değerlemesi için formülünü nasıl elde edebiliriz?

1976 Siyah Model ve Bachelier modeli hakkında bir sorum var.

P ölçekteki geometrik bir kahverengi hareketin $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ değerinde hisse senedi fiyatı $ S_ {t} $ lead olduğunu biliyorum. Bir Arama için Black-Scholes formülüne (bir değişiklik yapıldıktan sonra):

$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.

Nerede $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt { T}} $ ve $ d_ {2} = d_ {1} - \ sigma \ sqrt {T} $

Aslında, siyah formülü ileriye dönük bir sözleşmede nasıl elde edeceğimi bilmiyorum:

$$ C = e ^ {- rT} (F N (d_ {1}) - KN (d_ {2})) $$.

Şimdi nerde $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ ve $ d_ {2} = d_ {1} - \ sigma \ sqrt {T} $

İkincisini almak için ilk BS formülüne $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ eklemem gerekir mi?

Bunu soruyorum çünkü BS formülünü $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $ gibi aritmetik bir esmer hareket kullanarak türetmeye çalıştım.

$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [vn (d) -KN (d)] $$.

nerede $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ ve $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r }} $ ve $ N (d) $ ve $ n (d) $ değerinin CDF ve PDF olduğunu hatırlıyorum.

ancak önceki ikame $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $, bilinen sonuca yol açıyor gibi görünmektedir $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) - \ sigma \ sqrt {T} n (d) '] $

şimdi nerede $ d = \ frac {F-K} {\ sigma \ sqrt {T}} $

Denklemleri kullanarak hem geometrik kahverenginin hareketinde hem de aritmetik esmer hareketinde denklemlere ulaşabileceğimi düşünüyorum.

$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ ve $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ ama bunların kullanımını nasıl haklı çıkardığımı bilmiyorum.

4
@Macro Quant'a Hoş Geldiniz. S.E.! İade sözleşmesindeki sözleşmeyi veya opsiyonu fiyatlandırmak mı istiyorsunuz?
katma yazar user16991, kaynak
Orijinal BS formülünüzde $ S_0 $ yerine $ F e ^ {- rT} $ yazın ya da nötr riskli yaklaşımı kullanabilirsiniz. Her ikisi de aynı değerleme formülüne yol açacaktır.
katma yazar user16991, kaynak
Merhaba Neeraj, cevabınız için teşekkürler. İade sözleşmesindeki bir opsiyonu fiyatlandırmak istiyorum!
katma yazar Peter Taylor, kaynak
Tamam teşekkürler. Fakat ABM için de aynısını yapabilir miyim? Çünkü bu değişikliği yaptığımda sonuç alamıyorum.
katma yazar Peter Taylor, kaynak

2 cevap

Gelecekte Avrupa seçeneği

To price Gelecekte Avrupa seçeneği, you just need to replace $S_0$ with $Fe^{-rT}$ in your original BS formula or you can use risk neutral approach. Both will lead to same Valuation formula.

Gelecekte Amerikan seçeneği

Above procedure can not be used to price Gelecekte Amerikan seçeneği. In a paper, The valuation of options on future contracts by Ramaswamy, stated that

There are no known analytical solution to the valuation of Gelecekte Amerikan seçeneği contract.

Authors used implicit finite difference method to price Gelecekte Amerikan seçeneği contract.


Edit: Derivation of price of Gelecekte Avrupa seçeneği contract

Risk nötr tedbir altında, gelecekteki fiyat, $ F_t $ SDE'yi takiben tatmin edicidir: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ Nerede, $ W_t $ bir Wiener işlemidir. Kolayca gösterilebilir: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (T-t) + \ sigma (W_T-W_t)} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) - \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (T-t), \ sigma ^ 2 (T-t) \ sağ) $$

Gelecekteki sözleşme için opsiyonun fiyatı $ (C_t) $ risk altındaki nötr tedbirin altında: $$ C_t = e ^ {- r (T-t)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T - K) ^ +] $$

Gelecekte yazılan seçeneğin fiyatını almak için yukarıdaki ifadeyi kolayca çözebilirsiniz. $ F_T $ 'ın dağıtımı $ S_T $ (bu cevaba bakın) ile çok benzer. Eğer $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (T-t) $$ değerini değiştirirseniz, risk nötr ölçümü altında $ S_T $ ile aynı dağılımı elde edeceksiniz. Bu nedenle, opsiyonun fiyatını gelecekte alabilmemiz için, $ S_t $ 'yi Avrupa arama opsiyon fiyatının BS modelindeki $ F_t e ^ {- r (T-t)} $ ile değiştiriyoruz.

1
katma
@Marco, düzenleme yanıtını kontrol edin.
katma yazar user16991, kaynak
Merhaba Neeraj, aslında bir ABM'den başlayarak bir Avrupa opsiyonunu fiyatlandırmak istiyorum.
katma yazar Peter Taylor, kaynak

Ben denklemi aldım $ e ^ {- rt} [(S_ {0} e ^ {rt} -K) N (d) + vn (d)] $

Burada $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rt} -K} {v} $ ve $ v = \ sigma \ sqrt t $ ve ardından $ F (0, t) = S_ {0} e ^ kullanarak {rt} $ Arama fiyatı için son denklemi aldım:

$ C_ {t} = e ^ {- rt} [(F-K) N (d) + \ sigma \ sqrt t n (d)] $ Burada $ d = \ frac {F-K} {\ sigma \ sqrt t} $

Neticeyi elde etmek için, $ v $: $ \ lim_ {r \ to 0} \ sqrt {\ frac {e ^ {2rt} -1} {2r}} $ 'daki küçük r için sınırı dikkate almalıyım.

Bu tahminde nasıl haklı olabilirim?

0
katma