Poisson süreci uzun vadede bir Ito sürecine yaklaşıyor mu?

Poisson sürecinin uzun vadede Ito (difüzyon) sürecine “yakınsam” olduğunu duydum. Bununla birlikte, formun karakteristik işlevinin ikincisine nasıl dönüştüğünü göremiyorum. Bu yakınsama hangi ölçütte tanımlanabilir?

2
"Duydum" dediğimi ve "..." kelimelerini tırnak içine koyduğumu fark ettiniz mi? Söylediğin şey tam olarak bu şekilde soruyu sormamdı. İkimizin de sorduğu aynı soruya cevap aradım.
katma yazar James Osborn, kaynak
"Yakınsama" derken ne demek istediğin belli değil. Bir referans sağlayabilir misiniz?
katma yazar Gordon, kaynak

2 cevap

Eğer $ X_t $, $ \ lambda $ yoğunluğuna sahip bir Poisson Sayma İşlemi ise, Martingale $ M_t = X_t− \ lambda t $, bir Dengelenmiş Poisson Süreci olarak adlandırılır. $ \ Lambda $ büyük olurken $ M_t $, $ \ lambda $ varyans oranıyla Brownian hareketine yaklaşıyor.

Bu, Poisson Dağılımı'nın "ağır gelenler" yaklaşımını kullanarak görülebilir: varış oranı büyük olduğunda, saniyedeki olay sayısı yaklaşık olarak Normal $ \ lambda $ ve variance $ \ lambda $ ile Normaldir, dolayısıyla artış Saniyede kompanse edilmiş süreç N (0, λ) 'dır.

1
katma
İkinci paragrafınız, kullanıcı9403'ün, iki sürecin makul bir anlamda "yakınsamasını" göstermek için yeterli olmayan aşağıdaki cevaba benzemektedir. Lütfen benim cevabım altındaki eleştirilere bakınız. Soru sorduğum gibi bir stokastik sürecin diğerine "yakınsama" ile ne demek istediğini tanımlayabilir misiniz? İlk paragrafta iddia ettiğiniz yakınlaşma için bir kanıt veya referans verebilir misiniz? Aksi halde, cevabın soruma nasıl cevap verdiğini göremiyorum. Teşekkür ederim.
katma yazar James Osborn, kaynak
@ user9403: Benim soruma göre, bir stokastik sürecin bir dizisinin "yakınsamasının" doğru tanımı, benim aradığım şeyin bir parçasıdır. Bu yüzden ne sorduğuma bir cevap veremiyorum. Evet, açık uçlu bir sorudur. Ne duyduğumu haklı çıkardığını sormaya çalışıyorum. Tamamen yanlış bir şey olabilir. Bunu bilmek isterim. Sorunun cevabını bilmeyen ancak bazı iddiaların haklı olamayacağını bilen davalardan biridir. Ayrıca, cevabınıza yaptığım yorumda meşru bir tanımın ne olabileceği konusunda bazı önerilerde bulundum.
katma yazar James Osborn, kaynak
@ user9403: Cevabımın, yorumumda aşağıda verdiğim karşı örneklemin ışığında doğru görünmediğine katılıyor musunuz?
katma yazar James Osborn, kaynak
Size göre cevabım "yakınsama" göstermiyor, ancak "yakınsama" tanımını reddediyorsunuz. Ne isteyebileceğinizi tahmin etmek için bizi terk eden bir ölçüt olmayan bir soru sordunuz. Kesin bir soru sorun ve istediğiniz cevabı alabilirsiniz.
katma yazar user9403, kaynak
Eğer bir Poisson sürecinin bir artışının Brownian Motion'ın artışına karşılık gelip gelmediği anlamında yakınsama soruyorsanız, o zaman asla birleşmezler. Poisson süreçleri ve Brownian Motions Markov'dur, dolayısıyla $ T, T + dt $ üzerindeki dağılım $ T $ 'dan bağımsız olarak aynıdır.
katma yazar user9403, kaynak

Daha zayıf bir sonuç göstermesi basittir: Bir Poisson sürecinin normalde $ T $ olarak dağılımı büyük olur. Poisson sürecinin bağımsız artışları vardır. $ X_T-X_0 $ Poisson işlemi olsun. Rasgele zaman adımı atın $ \ Delta t $. Sonra $ X_T-X_0 = \ sum \ left (X _ {(i + 1) \ Delta t} -X_ {i \ Delta t} \ right) $. Merkezi Limit Teoreminde, sonlu varyanslı bir dağılımdan elde edilen IID rasgele değişkenlerin toplamı, terimlerin sayısı sonsuza yaklaştıkça normal bir rasgele değişkeni birleştirir. Dolayısıyla $ T \ to \ infty $, $ X_T-X_0 \ to \ mathcal {N} (\ cdot, \ cdot) $.

0
katma
Merkez Limit Teoreminin, Poisson sürecinin Gaussian'a yakınlaşmasına izin verdiğini anlıyorum. Bununla birlikte, iki sürecin yakınsaması kesinlikle herhangi bir zamanda dağıtımda yakınsama olamaz. İki sürecin yakınsaklığı, bir sürecin tüm yolları neredeyse diğerininkiyle yakınlaşan bir süreç olarak anlaşılıyor mu? Bunu çözdükten sonra, bir sürecin Brownian hareketi olduğunu göstermek için, sürecin artışının birbirinden bağımsız olduğunu ve sürecin yollarının neredeyse sürekli olduğunu ispatlamanız gerekir. Bunları sınırlama süreci için nasıl gösteriyorsunuz?
katma yazar James Osborn, kaynak
Önceki yorumumla ilgili bir durum, $ A_t: = \ sqrt {t} B_1 $ işlemidir. Burada $ B_t $, $ t $ zamanına göre standart Brownian hareketidir. $ A_t $ ve $ B_t $ herhangi bir zamanda tam olarak aynı dağıtıma sahip $ t $ ve $ A_t $ sürekli yollara sahip, ancak $ A_t $ hiçbir Brownian hareketi değil $ A_t $ $ B_t $ ile aynı süreçtir.
katma yazar James Osborn, kaynak