Hızlı Zihinsel 7,5 ABD Doları Hesaplaması 7 $

Yakın bir zamanda şu soruyu sordum.

7 ^ 7 $ ve 8 $ 7 $ 7 $, yaklaşık 7,5 $ 7 ABD Doları tutarındadır.

Benim fikrim, $ (x + .5) ^ 7, (x - .5) ^ 7 $ değerini $ x = 7.5 $ olarak bildiğimizydi. Daha sonra, ortalamalarını almak yaklaşık 7.5 $ 5 dolar kadar tahmin edilecekti. Başka fikirlerin var mı?

DÜZENLEME: Bizim cevabımızın% 90 \% 'ından emin olmalıyız ki bu, öznel bir terimdir, bu yüzden cevabımızın oldukça doğru.

2
Daha yakın bir tahmin, geometrik ortalamayı almaktır: $ \ sqrt {7 ^ 78 ^ 7} = \ sqrt {56} ^ 7 \ approx \ sqrt {56.25} ^ 7 = 7.5 ^ 7 $.
katma yazar Tritium21, kaynak
Bir "güven aralığı" istatistiksel bir terimdir ve bu soru bağlamında çok anlamlı değildir.
katma yazar Tritium21, kaynak
Bu Matematik SE'ye mi taşınmamalıdır?
katma yazar Nicholas Tolley Cottrell, kaynak
Birinin kafalarında bu sayıları ortalayabileceğinden çok etkilendim. Çözümün zihinsel olarak gerçekleştirilmesinin zorlaşmasından önce ne kadar aritmetik yapmamıza izin verilir?
katma yazar Robert de Graaf, kaynak
@GarethMcCaughan: Güncelledim.
katma yazar user21555, kaynak
@Aurey: Sanırım kağıt isteyebiliriz, ancak hesaplamanın hızlı olması gerekiyor.
katma yazar user21555, kaynak
Sorunun hangi seviyede olmasını istediğini biliyor musunuz?
katma yazar Pankaj, kaynak

3 cevap

Aşırı karmaşık olmayan bir çözüm var, ama oldukça doğru (kağıt üzerinde yapılabilir). Binom genişlemesinde lider terimleri kullanın.

$ (7.5) ^ 7 = 7 ^ 7 (1 + 0.5/7) ^ 7 \ yaklaşık 7 ^ 7 (1 + 0.5/7 * 7 + (0.5/7) ^ 2 * 21) $

21 $ gibi $ 7 $ $ 2 $ seçin.

Bu, 7 ^ 7 (1,5 + 0.25/7 * 3) \ yaklaşık 7 ^ 7 (1,5 + 0,1) $ verir

$ 1317668.8 $, gerçek değere $ \ approx1334838.86 $ çok yakın bir değer verir

6
katma
Sanırım aynı akıl yürütmeyi 8'den uygular ve sonra her iki değerde de ortalama yaparsanız, daha da yakın olmanız gerekir.
katma yazar Scott Weldon, kaynak

Teknik olarak, bence sorunun çok geniş. Şunu azaltır: "Çok çaba sarf etmeden aritmetik ortalama yapmaktan daha iyi bir yaklaşım elde edebilirsiniz?" Ve "% 90 emin" ne anlama geldiğini anlamıyorum. Bu,% 10'un içinde olmanız gerektiği anlamına gelirse, o zaman çözüm kolaydır ve aslında bir bulmaca olarak nitelendirilmez.

Yine de, her zaman zihinsel aritmetiği gerçekten faydalı bulduğum için burada ne yapardım.

7.5'in 7'den büyük olduğunu biliyorsunuz. 7 $ 7 * 7 = 49 $ olduğunu biliyorsunuz. Bu nedenle, 7.5, 7'den% 7 daha büyüktür.

$7.5^7 > 7^7 * 1.07^7$

1,07 $ 7 $ ne kadar? Eh, biz 1 + (0.07 * 7) $ 'dan biraz daha fazla olduğunu biliyoruz, bu yüzden 1.5'e oldukça yakın. Bu verir:

$7.5^7 > 7^7 * 1.5$.

Dahası, biliyorsun

$7.5^7 < (7^7 + 8^7)/2$.

Şimdi:

7 TL - 7 = 823,543 $
  8 $ 7 = 2,097,152 $

Eğer zihinsel aritmetikte gerçekten kötüyseniz, almak için 823.543 (en az) 800,000 ve 823,543 + 2,097,152 $ (azami) ile 3.000.000'e varabilirsiniz:

$7^7 * 1.5 < 7.5^7 < (7^7 + 8^7)/2$
$800,000 * 1.5 < 7.5^7 < 3,000,000/2$
$1,200,000 < 7.5^7 < 1,500,000$

Minimumdan daha büyük ve adil bir miktardan daha büyük bir miktar olduğunuzu biliyorsunuz, bu yüzden orta noktayı alın: 1,350,000. Bu, doğru cevabın% 2'si içerisinde ortaya çıkıyor. Yazmak ve açıklamak biraz zaman alır, ancak bunu birkaç saniye içinde kafanızda yapabilir ve doğru rakamın yüzde birkaçında olduğunuzdan emin olabilirsiniz. % 10 çıkarıldığından beri% 10 içinde olduğundan kesinlikle emin olun, minimumun hemen üstünde ve maksimumun hemen altında.

4
katma
Bununla ilgili tek sorun, zihinsel olarak $ 1.07 ^ 7 $ hesaplamanız ve $ 1.5 $ almanızdır. Bunu nasıl yapabilirsin?
katma yazar jeffreypriebe, kaynak
@question_asker Teşekkürler. Sabit.
katma yazar Craigger, kaynak
@Trenin Eğer sayı 7 kez% 7 daha büyük olursa, yedi kez .07 eklemekten biraz daha fazla. Yedi sevens 49, yani 1.49'dan biraz daha fazla. 1.5 kullanarak elde edilen matematik kolaylaştırır.
katma yazar Craigger, kaynak
8 $ {7} $ değerinde olmalıyım;
katma yazar question_asker, kaynak

7 $ 7 = bir $ ve $ 8 ^ 7 = b $ varsayarsak

Sanırım aşağıdaki gibi olabiliriz:

$$ {7.5} ^ 7 \ times 1 \ approx \ int_7 ^ 8x ^ 7dx = \ frac 18 \ left (8 ^ 8-7 ^ 8 \ right) = 8 ^ 7- \ frac 78 7 ^ 7 = b- \ frac 78 a $$

Hangi 1376551.875 $, çok gerçek değer $ 1334838.867 $ çok yakın verir

Bu yol kolay ve hızlıdır.

0
katma